2021학년도 06월 가형 30번

30. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$$f(x)$는 $0\le x<3$$0\le x<3$일 때 $f(x)=|x-1|+|x-2|$$f(x)=|x-1|+|x-2|$이고, 모든 실수 $x$$x$에 대하여 $f(x+3)=f(x)$$f(x+3)=f(x)$를 만족시킨다. 함수 $g(x)$$g(x)$를

$$g(x)=\underset{h\to 0+}{lim}|\frac{f(2^{x+h})-f(2^x)}{h}|$$

이라 하자. 함수 $g(x)$$g(x)$가 $x=a$$x=a$에서 불연속인 $a$$a$의 값 중에서 열린 구간 $(-5,5)$$(-5,~5)$에 속하는 모든 값을 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$$a_1,~a_2,~\cdots,~a_n$ ($n$$n$은 자연수)라 할 때, $n+\sum _{k=1}^n\frac{g(a_k)}{\ln 2}$$n+\sum\limits_{ k=1}^n \cfrac{g(a_k)}{\ln 2}$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• $g(x)$$g(x)$를 눈에 힘을 주고 보니 $h(x)=2^x$$h(x)=2^x$로 두고 싶지 않은가?

  $g(x)=\underset{x\to 0+}{lim}|\frac{f(h(x+h))-f(h(x))}{h}|$$g(x)=\lim\limits_{ x\to 0+} \Big| \cfrac {f(h(x+h))-f(h(x))}h\Big|$

  이해를 돕기위해, $(f\circ h)(x)=j(x)$$(f\circ h)(x)=j(x)$로 보면,

  $g(x)=\underset{x\to 0+}{lim}|\frac{j(x+h)-j(x)}{h}|$$g(x)=\lim\limits_{ x\to 0+} \Big|\cfrac {j(x+h)-j(x)}h\Big|$

  즉, $j^{\prime }(x)$$j'(x)$의 우미분값을 표현한 것이다!

• 이를 조금 더 생각하면,

  $g(x)=|j^{\prime }(x)|$$g(x)=|j'(x)|$이긴 한데, 우미분값!!!

  $j^{\prime }(x)=f^{\prime }(h(x))h^{\prime }(x)$$j'(x)=f'(h(x))h'(x)$

  그리고 절댓값을 생각해보면, $h^{\prime }(x)=2^x\times \ln 2$$h'(x)=2^x \times \ln 2$로 항상 양수라 영향이 없고

  $f^{\prime }(x)$$f'(x)$의 절댓값이 영향을 끼칠 것 같다.

• $f(x)$$f(x)$는 주기함수이므로 한 주기 내에서 $|f^{\prime }(x)|$$|f'(x)|$값을 구해보자. 물론 우미분값으로.

  $\begin{array}{c}{f}^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}-2& (0<x<1)\\ \\ 0& (1<x<2)\\ \\ 2& (2<x<3)\end{array}\end{array}$$f'(x)=\begin{cases} -2 &(0<x<1) \\ \\0 &(1<x<2)\\ \\2&(2<x<3)\end{cases}$

   

  $\begin{array}{c}|f^{\prime }(x)|=\{\begin{array}{ll}2& (0<x<1,2<x<3)\\ \\ 0& (1<x<2)\end{array}\end{array}$$|f'(x)|=\begin{cases} 2 &(0<x<1,~2<x<3)\\ \\ 0 &(1<x<2)\end{cases}$

   

  $\begin{array}{c}⟶|f^{\prime }(x)|=\{\begin{array}{ll}2& x=2,5,8,\cdots \\ \\ 0& x=1,4,7,\cdots \end{array}\end{array}$$\quad \longrightarrow \quad |f'(x)|=\begin{cases}2 &x=2,~5,~8,~\cdots \\ \\ 0&x=1,~4,~7,~\cdots \end{cases}$

  오호.....계산하면서 날라가는 게 좀 생기겠다.

• $g(x)$$g(x)$에 대해 정리하자.

  $g(x)=|f^{\prime }(2^x)\times 2^x\times \ln 2|$$g(x)=\Big| f'(2^x )\times 2^x \times \ln 2 \Big|$의 우미분값!

  열린 구간 $(-5,5)$$(-5,~5)$이면, $2^x$$2^x$의 치역은 $(2^{-5},2^5)\to (\frac{1}{32},32)$$(2^{-5},~2^5)\to(\cfrac 1{32},~32)$

  $2^x=1,2,,3,\cdots ,31$$2^x =1,~2,~,3,~\cdots ,~31$까지 생각하면 되겠다.

  그리고 위해 구한 불연속인 지점만 따로 빼서 생각하면,

  $\{\begin{array}{l}{b}_k=3k-2\\ \\ c_m=3m-1\end{array}$$\begin{cases} b_k=3k-2 \\ \\ c_m=3m-1\end{cases} \quad$로 나누어 접근 할 수 있다. $\{\begin{array}{l}3k-2<32⟶k<11\frac{1}{3}\\ \\ 3m-1<32⟶m<11\end{array}$$\begin{cases}3k-2<32\quad \longrightarrow \quad k<11\cfrac 13\\ \\ 3m-1<32\quad \longrightarrow \quad m<11 \end{cases}$

  $\therefore k=11,m=10$$\therefore~ k=11,~m=10$

  $\therefore n=k+m=21$$\therefore~ n=k+m=21$

• 위에서 구한 과정을 토대로 $g(x)$$g(x)$를 계산하면,

  $\begin{array}{c}g(x)=\{\begin{array}{ll}0& (2^x=b_k=3k-2)\\ \\ 2(3m-1)\ln 2& (2^x=c_m=3m-1)\end{array}\end{array}$$g(x)=\begin{cases} 0&(2^x =b_k=3k-2)\\ \\ 2 (3m-1)\ln 2 &(2^x =c_m =3m-1)\end{cases}$

• 계산하자.

  $\begin{array}{rl}n+\sum _{k=1}^n\frac{g(a_k)}{\ln 2}& =21+\sum _{n=1}^{21}\frac{g(a_n)}{\ln 2}\\ \\ & =21+\sum _{m=1}^{10}\frac{g(c_m)}{\ln 2}\\ \\ & =21+\sum _{m=1}^{10}\frac{2(3m-1)\ln 2}{\ln 2}\\ \\ & =21+2\sum _{m=1}^{10}(3m-1)\\ \\ & =331\end{array}$$\begin{aligned} n+\sum\limits_{ k=1}^n \cfrac {g(a_k)}{\ln 2} &=21 +\sum\limits_{n=1}^{21} \cfrac {g(a_n)}{\ln 2} \\ \\ &= 21 +\sum\limits_{ m=1}^{10} \cfrac {g(c_m)}{\ln 2} \\ \\ &= 21 +\sum\limits_{ m=1}^{10} \cfrac {2(3m-1)\ln 2}{\ln 2} \\ \\ &=21+2\sum\limits_{ m=1}^{10}(3m-1) \\ \\ &=331 \end{aligned}$

$\therefore 331$$\therefore~ 331$