2020년 07월 가형 30번

30. 함수 $f(x)=\sin \frac{\pi }{2}x$$f(x)=\sin \cfrac{\pi }2x$와 $0$$0$이 아닌 두 실수 $a,b$$a,~b$에 대하여 함수 $g(x)$$g(x)$를

$$g(x)=e^{af(x)}+bf(x)(0<x<12)$$

라 하자. 함수 $g(x)$$g(x)$가 $x=\alpha$$x=\alpha$에서 극대 또는 극소인 모든 $\alpha$$\alpha$를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\cdots ,{\alpha }_m(m$$\alpha_1,~\alpha_2,~\alpha_3,~\cdots ,~\alpha _m~(m$은 자연수$)$$)$라 할 때, $m$$m$ 이하의 자연수 $n$$n$에 대하여 ${\alpha }_n$$\alpha_n$은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $n$$n$ 이 홀수일 때, ${\alpha }_n=n$$\alpha _n=n$이다.

(나) $n$$n$이 짝수일 때, $g({\alpha }_n)=0$$g(\alpha_n)=0$이다.

함수 $g(x)$$g(x)$가 서로 다른 두 개의 극댓값을 갖고 그 합이 $e^3+e^{-3}$$e^3 +e^{-3}$일 때, $\begin{array}{r}m\pi {\int }_{{\alpha }_3}^{{\alpha }_4}g(x)\cos \frac{\pi }{2}xdx=p{e}^3+qe\end{array}$$\begin{aligned} m\pi \int_{\alpha _3} ^{\alpha _4} g(x)\cos \cfrac {\pi}2 x dx =pe^3 +qe\end{aligned}$이다. $p-q$$p-q$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$와 $q$$q$는 정수이다.)

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i. 생각

• $f(x)$$f(x)$의 주기는 $4$$4$이다.

  $\frac{\pi }{2}p=2\pi ⟶p=4$$\cfrac {\pi }2 p =2\pi\quad \longrightarrow \quad p=4$

• $g(x)$$g(x)$에 대해 알아보자.

  $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)\{a{e}^{af(x)}+b\}$$g'(x)=f'(x)\big\{ae^{af(x)}+b\big\}$

  어랏? $f^{\prime }(x)=\frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{2}x$$f'(x)=\cfrac {\pi}2 \cos \cfrac {\pi}2x$

  $x=1,3,5,7,\cdots$$x=1,~3,~5,~7,~\cdots$일 때 $g^{\prime }(x)=0$$g'(x)=0$

  어?

  ${\alpha }_{2n-1}=2n-1$$\alpha_{2n-1}=2n-1$

  그리고 ${\alpha }_{2n-1}$$\alpha_{2n-1}$일 때 극대값일 것이다. ($\because g({\alpha }_{2n})=0$$\because~g(\alpha _{2n} )=0$)

• 극댓값의 합을 구하자.

  $g(1)+g(3)=(e^a+b)+(e^{-a}-b)=e^a+e^{-a}$$g(1)+g(3)=(e^a+b) +(e^{-a}-b)=e^a+e^{-a}$

  오!

  $a=\pm 3$$a=\pm 3$ 둘 중 하나다!

• $a=3$$a=3$이라 가정하자.

  $g(x)=e^{3f(x)}+bf(x)$$g(x)=e^{3f(x)}+bf(x)$

  $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)(3e^{3f(x)}+b)$$g'(x)=f'(x)(3e^{3f(x)}+b)$

  $e^{3f(x)}=-\frac{b}{3}(b<0)$$e^{3f(x)}=-\cfrac b3\quad (b<0)$

  사인 함수의 성질을 이용하면,

  ${\alpha }_2=3-k,{\alpha }_4=3+k$$\alpha _2=3-k,~\alpha_4=3+k$라고 생각할 수 있다. (단, $k>0$$k>0$)

  $g({\alpha }_2)=-\frac{b}{3}+bf({\alpha }_2)=0$$g(\alpha _2)=-\cfrac b3 +b f(\alpha _2)=0$을 만족시켜야 한다.

  $f({\alpha }_2)=\frac{1}{3}$$f(\alpha _2)=\cfrac 13$

  어? 이거 모순이다. $f(x)=\frac{1}{3}$$f(x)=\cfrac 13$의 근은 $0<x<1$$0<x<1$에서 발생한다. 이는 ${\alpha }_1$$\alpha_1$이 이 근이어야 하는데 조건 (가)에 위배된다.

  $\therefore a=-3$$\therefore~ a=-3$

• $a=-3$$a=-3$으로 계산하자.

  $g(x)=e^{-3f(x)}+bf(x)$$g(x)=e^{-3f(x)}+bf(x)$

  $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)(-3e^{-3f(x)}+b)$$g'(x)=f'(x)(-3e^{-3f(x)} +b)$

  $e^{-3f(x)}=\frac{b}{3}⟶e^{-3f({\alpha }_{2n})}=\frac{b}{3}$$e^{-3f(x)} =\cfrac b3\quad \longrightarrow e^{-3f(\alpha_{2n} )} =\cfrac b3$

  $g({\alpha }_{2n})=\frac{b}{3}+bf({\alpha }_{2n})=0$$g(\alpha_{2n} )=\cfrac b3 +bf(\alpha_{2n})=0$

  $f({\alpha }_{2n})=-\frac{1}{3}$$f(\alpha_{2n}) =-\cfrac 13$

  그리고, $e^{-3\times -\frac{1}{3}}=\frac{b}{3}⟶b=3e$$e^{-3\times -\frac 13 } =\cfrac b3\quad \longrightarrow \quad b=3e$

• $m$$m$을 구하자.

  우선 ${\alpha }_{11}=11$$\alpha_{11}=11$

  $2<x<4$$2<x<4$에서 ${\alpha }_2,{\alpha }_4$$\alpha_2,~\alpha_4$

  $6<x<8$$6<x<8$에서 ${\alpha }_6,{\alpha }_8$$\alpha_6,~\alpha_8$

  $⋮$$\quad \quad \vdots$

  $10<x<12$$10<x<12$에서 ${\alpha }_{10},{\alpha }_{12}$$\alpha_{10},~\alpha_{12}$

  $\therefore m=12$$\therefore~ m=12$

ii. 계산하자.

$\begin{array}{rl}12& \pi {\int }_3^{{\alpha }_4}\{e^{-3f(x)}+3ef(x)\}\cos \frac{\pi }{2}xdx\\ \\ & ⟸\cos \frac{\pi }{2}x=\frac{2}{\pi }{f}^{\prime }(x)\\ \\ & =24{\int }_3^{{\alpha }_4}\{e^{-3f(x)}+3ef(x)\}{f}^{\prime }(x)dx\\ \\ & =24[-\frac{1}{3}{e}^{-3f(x)}+\frac{3e}{2}\{f(x){\}}^2{]}_3^{{\alpha }_4}\\ \\ & =8e^3-40e\end{array}$$\begin{aligned} 12&\pi \int_3^{\alpha_4}\Big\{ e^{-3f(x)}+3ef(x)\Big\}\cos \cfrac{\pi}2x dx \\ \\ &\Longleftarrow \cos\cfrac {\pi}2 x =\cfrac 2{\pi}f'(x) \\ \\ &=24 \int_3^{\alpha _4}\big\{ e^{-3f(x)}+3ef(x)\}f'(x)dx \\ \\ &= 24 \Big[-\cfrac 13 e^{-3f(x)}+\cfrac {3e}2 \big\{f(x)\big\} ^2\Big]_3^{\alpha _4} \\ \\ &= 8e^3 -40e\end{aligned}$

$\therefore p=8,q=-40$$\therefore~ p=8,~q=-40$

$\therefore p-q=48$$\therefore~ p-q=48$