2021학년도 09월 가형 30번

30. 다음 조건을 만족시키는 실수 $a,b$$a,~b$에 대하여 $ab$$ab$의 최댓값을 $M$$M$, 최솟값을 $m$$m$이라 하자.

모든 실수 $x$$x$에 대하여 $-e^{-x+1}\le ax+b\le e^{x-2}$$-e^{-x+1} \le ax+b\le e^{x-2}$ 이 성립한다.

$|M\times m^3|=\frac{q}{p}$$\big| M\times m^3 \big|=\cfrac qp$일 때, $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$와 $q$$q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 생각

• 당연히 그래프를 그려보자.

  $f(x)=-e^{-x+1},g(x)=e^{x-2}$$f(x)=-e^{-x+1},~g(x)=e^{x-2}$

  

  이렇게 공통으로 접할 때가 $m$$m$을 나타내는 직선일 것이다.

• 공통 접선을 찾자.

  헐...계산이.....

  어랏?

  $f(x)$$f(x)$의 그래프는 $y=e^x$$y=e^x$의 그래프를 원점대칭 후에 $x$$x$축으로 $1$$1$만큼 이동한 것이고,

  $g(x)$$g(x)$의 그래프는 $y=e^x$$y=e^x$의 그래프를 $x$$x$축으로 $2$$2$만큼 이동시킨 것이다.

  오호...이거 서로 점대칭일 것이다!

  그 점의 좌표를 $(k,0)$$(k,~0)$이라 하면, ($y$$y$ 좌표값이 $0$$0$인 이유는 두 그래프 모두 $y$$y$축으로의 이동은 없었다.)

  $-f(k-\alpha )=g(k+\alpha )$$-f(k-\alpha )=g(k+\alpha )$를 만족할 것이다.

  $e^{-k+\alpha +1}=e^{k+\alpha -2}$$e^{-k+\alpha +1} =e^{k+\alpha -2}$

  $-k+\alpha +1=k+\alpha -2⟶2k=3$$-k+\alpha +1=k+\alpha -2\quad \longrightarrow \quad 2k=3$

  $\therefore k=\frac{3}{2}$$\therefore~ k=\cfrac 32$

  $\therefore y=g(x)$$\therefore~ y=g(x)$의 접선이 $(\frac{3}{2},0)$$(\cfrac 32,~0)$을 지나면 된다.

  $(t,g(t))$$(t,~g(t))$에서의 접선이 $(\frac{3}{2},0)$$(\cfrac 32,~0)$을 지나도록 하면,

  $y=g^{\prime }(t)(x-t)+g(t)⟶0=g^{\prime }(t)(\frac{3}{2}-t)+g(t)$$y=g'(t)(x-t)+g(t)\quad \longrightarrow \quad 0=g'(t)(\cfrac 32 -t)+g(t)$

  계산 생략

  $t=\frac{5}{2}$$t=\cfrac 52$

  공통접선의 방정식은 $y=e^{\frac{1}{2}}x-\frac{3}{2}{e}^{\frac{1}{2}}$$y=e^{\frac 12}x -\cfrac 32e^{\frac 12}$

  $\therefore ab=-\frac{3}{2}e=m$$\therefore~ ab=-\cfrac 32 e=m$

• $M$$M$을 구해보자.

  • 기울기는 $y=f(x),y=g(x)$$y=f(x),~y=g(x)$에서의 기울기는 같을 것이고, $y$$y$ 절편에 따라 $ab$$ab$의 값이 변할 것이다. 그럼 당연히 $y$$y$ 절편이 큰 $y=g(x)$$y=g(x)$에서 발생할 것이다.

  • $y=g(x)$$y=g(x)$의 그래프 위의 점 $(t,g(t))$$(t,~g(t))$에서의 접선이 을 구하자. 그리고 $t<\frac{5}{2}$$t<\cfrac 52$일 것이다.

    $y=e^{t-2}x+(1-t)e^{t-2}$$y=e^{t-2}x+(1-t)e^{t-2}$

    $ab=h(t)=(1-t)e^{2(t-2)}$$ab=h(t)=(1-t)e^{2(t-2)}$

    • $h(t)$$h(t)$의 최댓값을 구하자.

      $h^{\prime }(t)=(1-2t)e^{2(t-2)}$$h'(t)=(1-2t)e^{2(t-2)}$

      $t=\frac{1}{2}$$t=\cfrac 12$일 때 발생한다.

  $\therefore M=h(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}{e}^{-3}$$\therefore~ M=h(\cfrac 12)=\cfrac 12 e^{-3}$

$\therefore |M\times m^3|=\frac{27}{16}$$\therefore~ \Big|M\times m^3 \Big| =\cfrac{27}{16}$

$\therefore p+q=43$$\therefore~ p+q=43$