2020년 10월 가형 30번

30. 최고차항의 게수가 $k(k>0)$$k~(k>0)$인 이차함수 $f(x)$$f(x)$에 대하여 $f(0)=f(-2),f(0)\ne 0$$f(0)=f(-2),~f(0)\neq 0$이다. 함수 $g(x)=(ax+b)e^{f(x)}(a<0)$$g(x)=(ax+b)e^{f(x)}~(a<0)$이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 $x$$x$에 대하여 $(x+1)\{g(x)-mx-m\}\le 0$$(x+1)\big\{g(x)-mx-m\big\}\le0$을 만족시키는 실수 $m$$m$의 최솟값은 $-2$$-2$이다.

(나) $\begin{array}{r}{\int }_0^{1}g(x)dx={\int }_{-2f(0)}^{1}g(x)dx=\frac{e-e^4}{k}\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^1 g(x)dx =\int_{-2f(0)}^1 g(x)dx =\cfrac {e-e^4}k\end{aligned}$

$f(ab)$$f(ab)$의 값을 구하시오. (단, $a,b$$a,~b$는 상수이다.)

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i. 생각

• $f(0)=f(-2)$$f(0)=f(-2)$로 부터 $f(x)=k(x+1{)}^2+c$$f(x)=k(x+1)^2 +c$라 할 수 있다.

• 조건 (가)를 생각하자.

  • $x\le -1$$x\le-1$이면 $\{g(x)-m(x+1)\}\ge 0$$\{g(x)-m(x+1)\}\ge 0$
  • $x\ge -1$$x\ge-1$이면, $\{g(x)-m(x+1)\}\le 0$$\{g(x)-m(x+1)\}\le 0$

  $h(x)=g(x)-m(x+1)$$h(x)=g(x)-m(x+1)$이라 하면,

  $h(-1)=g(-1)$$h(-1)=g(-1)$

   

  • $g(-1)<0$$g(-1)<0$이면 $x<-1$$x<-1$인 지점 어딘가에서 $g(x)=0$$g(x)=0$이 되서 부등식을 만족시키지 못한다.
  • $g(-1)>0$$g(-1)>0$도 마찬가지로 부등식을 만족시키지 못한다.

   

  $\therefore g(-1)=0$$\therefore~ g(-1)=0$

  $g(-1)=(-a+b)e^f(-1)=0$$g(-1)=(-a+b)e^f(-1)=0$

  $\therefore a=b$$\therefore~ a=b$

  $\therefore g(x)=a(x+1)e^{f(x)}$$\therefore~ g(x)=a(x+1)e^{f(x)}$

  어? $f(x)$$f(x)$는 $x=-1$$x=-1$에 대칭이고, $(x+1)$$(x+1)$이 곱해져 있다!

  $g(x)$$g(x)$의 그래프는 $(-1,0)$$(-1,~0)$에 대해 점대칭이다!

• 개형을 다 떠나서 대충 $y=g(x)$$y=g(x)$를 생각해보자.

  

  • $m$$m$의 최솟값이 $-2$$-2$가 의미하는 것은?

    • $g^{\prime }(-1)=-2$$g'(-1)=-2$
    • $g^{″}(-1)=0$$g''(-1)=0$

     

• 이제 함수를 제대로 구하자.

  • $f(x)=k(x+1{)}^2+c$$f(x)=k(x+1)^2 +c$

    $f^{\prime }(x)=2k(x+1)$$f'(x)=2k(x+1)$

  • $g(x)=a(x+1)e^{f(x)}$$g(x)=a(x+1)e^{f(x)}$

    $g^{\prime }(x)=a{e}^{f(x)}+a(x+1)f^{\prime }(x)e^f(x)=a{e}^{f(x)}\{1+(x+1)f^{\prime }(x)\}=a{e}^{f(x)}(1+2k(x+1{)}^2)$$g'(x)=ae^{f(x)} +a(x+1)f'(x)e^f(x)=ae^{f(x)}\{1+(x+1)f'(x)\}=ae^{f(x)} (1+2k(x+1)^2)$

  • 조건 (나)를 보자.

    $x=-1$$x=-1$에 대칭인 것을 이용하면,

    $\begin{array}{r}{\int }_{-2}^{0}g(x)dx=0\end{array}$$\begin{aligned} \int_{-2}^0 g(x)dx=0 \end{aligned}$

    오! 그럼 $\begin{array}{r}{\int }_{-2}^{1}g(x)dx={\int }_0^{1}g(x)dx\end{array}$$\begin{aligned} \int_{-2}^1 g(x)dx =\int_0^1 g(x)dx \end{aligned}$

    $\therefore -2f(0)=-2$$\therefore~ -2f(0)=-2$

    $f(0)=1$$f(0)=1$

    $f(0)=k+c=1$$f(0)=k+c=1$

    $\therefore f(x)=k(x+1{)}^2+1-k$$\therefore~ f(x)=k(x+1)^2 +1-k$

  • $g^{\prime }(-1)=-2$$g'(-1)=-2$를 이용하자.

    $g^{\prime }(-1)=a{e}^{1-k}=-2$$g'(-1)=ae^{1-k}=-2$

    아오..아깝다... 유리수 조건이 있으면, $a=-2,k=1$$a=-2,~k=1$인데...

  • $g^{″}(-1)=0$$g''(-1)=0$을 이용하자.

    $g^{″}(x)=a(4k(x+1))e^{f(x)}+a(1+2k(x+1{)}^2)f^{\prime }(x)e^{f(x)}$$g''(x)=a(4k(x+1))e^{f(x)}+a(1+2k(x+1)^2)f'(x)e^{f(x)}$

    $g^{″}(-1)=a{f}^{\prime }(-1)e^{f(-1)}=0$$g''(-1)=af'(-1)e^{f(-1)}=0$

    시간 날렸다...

  • $\begin{array}{r}{\int }_0^{1}g(x)dx\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^1 g(x)dx\end{aligned}$를 계산하자.

    $\begin{array}{rl}{\int }_0^{1}g(x)dx& ={\int }_0^{1}a(x+1)e^{k(x+1{)}^2+1-k}\\ \\ & =a{e}^{1-k}{\int }_0^1(x+1)e^{k(x+1{)}^2}dx\\ \\ & =a{e}^{1-k}\frac{1}{2k}[e^{k(x+1{)}^2}{]}_0^1\\ \\ & =\frac{a{e}^{1-k}}{2k}(e^{4k}-e^k)\\ \\ & =\frac{a}{2k}(e^{1+3k}-e)\\ \\ & =\frac{e-e^4}{k}\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^1g(x)dx &=\int_0^1 a(x+1)e^{k(x+1)^2 +1-k} \\ \\ &= ae^{1-k} \int_0^1(x+1)e^{k(x+1)^2} dx \\ \\ &= ae^{1-k} \cfrac 1{2k}\Big[ e^{k(x+1)^2}\Big]_0^1\\ \\ &=\cfrac {ae^{1-k}}{2k}(e^{4k}-e^k)\\ \\ &=\cfrac a{2k}\big(e^{1+3k}-e)\\ \\ &=\cfrac {e-e^4}{k}\end{aligned}$

    $a=-2$$a=-2$이고, $k=1$$k=1$이다.

    헐..유리수 조건만 붙었어도 적분 안해도 됐는데....

  $\therefore f(x)=(x+1{)}^2,a=-2,b=-2$$\therefore~ f(x)=(x+1)^2,~a=-2,~b=-2$

$\therefore f(4)=25$$\therefore~ f(4)=25$