2020년 10월 가형 20번

20. 자연수 $n$$n$에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$$f(x)$가

$$\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{nx}{x^n+1}& (x\ne -1)\\ \\ -2& (x=-1)\end{array}\end{array}$$

일 때, <보기>에서 옳은 것을 고르시오.

ㄱ. $n=3$$n=3$일 때, 함수 $f(x)$$f(x)$는 구간 $(-\mathrm{\infty },-1)$$(-\infty,~-1)$에서 증가한다.

ㄴ. 함수 $f(x)$$f(x)$가 $x=-1$$x=-1$에서 연속이 되도록 하는 $n$$n$에 대하여 방정식 $f(x)=2$$f(x)=2$의 서로 다른 실근의 개수는 $2$$2$이다.

ㄷ. 구간 $(-1,\mathrm{\infty })$$(-1,~\infty)$에서 함수 $f(x)$$f(x)$가 극솟값을 갖도록 하는 $10$$10$ 이하의 모든 자연수 $n$$n$의 값의 합은 $24$$24$이다.

---

i. 정리

• $f^{\prime }(x)=\frac{n\{(1-n)x^n+1\}}{(x^n+1{)}^2}$$f'(x)=\cfrac {n\{(1-n)x^n +1\}}{(x^n+1)^2}$

ii. ㄱ

$n=3$$n=3$이면,

$f^{\prime }(x)=\frac{3(-2x^3+1)}{(x^3+1{)}^2}$$f'(x)=\cfrac {3(-2x^3+1)}{(x^3+1)^2}$

$x<-1$$x<-1$이면 $f^{\prime }(x)>0$$f'(x)>0$

True

iii. ㄴ

$\underset{x\to -1}{lim}f(x)=-2$$\lim\limits_{ x\to -1} f(x)=-2$

$\frac{-n}{(-1{)}^n+1}=-2$$\cfrac {-n}{(-1)^n+1}=-2$

$n$$n$은 짝수여야 하고...

$n=4$$n=4$일 때이다.

$\therefore f(x)=\frac{4x}{x^4+1}=2$$\therefore~ f(x)=\cfrac {4x}{x^4+1}=2$

• 방정식을 풀자?

  $4x=2x^4+2$$4x=2x^4+2$

  $2x=x^4+1$$2x=x^4+1$

  $x^4-2x+1=0$$x^4-2x+1=0$

  $(x-1)(x^3+x^2+x-1)=0$$(x-1)(x^3+x^2 +x-1)=0$

  $g(x)=x^3+x^2+x-1=0$$g(x)=x^3 +x^2+x-1=0$이 $x=1$$x=1$이 아닌 근이 있으면 된다.

  $g(1)=2$$g(1)=2$

  그리고 $y=g(x)$$y=g(x)$는 실근은 적어도 하나 이상 존재한다.

  아..놔..하나이상...

  $g^{\prime }(x)=3x^2+2x+1$$g'(x)=3x^2 +2x+1$

  $D/4=1-3<0$$D/4=1-3<0$

  실근은 $x=1$$x=1$이 아닌 하나가 존재한다.

True

iv. ㄷ

• $f^{\prime }(x)=\frac{n\{(1-n)x^n+1\}}{(x^n+1{)}^2}$$f'(x)=\cfrac {n\{(1-n)x^n +1\}}{(x^n+1)^2}$

  $x^n=\frac{1}{n-1}$$x^n=\cfrac 1{n-1}$

  • $n$$n$이 짝수이면 $x=\pm \sqrt[n]{\frac{1}{n-1}}$$x=\pm \sqrt[n]{\cfrac 1{n-1}}$

    $n=2$$n=2$일 때 극댓값만 존재한다. ($\because$$\because$ 구간 $(-1,\mathrm{\infty })$$(-1,~\infty)$)

    $n=4,6,8,\cdots$$n=4,~6,~8,~\cdots$ 에서는 존재한다.

  • $n$$n$이 홀수이면 $x=\sqrt[n]{\frac{1}{n-1}}$$x=\sqrt[n]{\cfrac 1{n-1}}$

    극댓값만 나타난다.

$\therefore 4+6+8+10=28$$\therefore~ 4+6+8+10=28$

False