2020년 03월 가형 21번

21. $0$$0$이 아닌 실수 $m$$m$에 대하여 두 함수

$$\begin{array}{c}f(x)=2x^3-8x\\ \\ g(x)=\{\begin{array}{ll}-\frac{27}{m}x+\frac{4}{m^3}& (x<0)\\ \\ 2mx+\frac{4}{m^3}& (x\ge 0)\end{array}\end{array}$$

이 있다. 실수 $x$$x$에 대하여 $f(x)$$f(x)$와 $g(x)$$g(x)$ 중 크지 않은 값을 $h(x)$$h(x)$라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. $m=-1$$m=-1$일 때, $h(\frac{1}{2})=-5$$h\Big(\cfrac 12\Big)=-5$이다.

ㄴ. $m=-1$$m=-1$일 때, 함수 $h(x)$$h(x)$가 미분가능하지 않은 $x$$x$의 개수는 $2$$2$이다.

ㄷ. 함수 $h(x)$$h(x)$가 미분가능하지 않은 $x$$x$의 개수가 $1$$1$인 양수 $m$$m$의 최댓값은 $6$$6$이다.

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i. 정리

• $h(x)=min\{f(x),g(x)\}$$h(x)=\min \Big\{f(x),~g(x)\Big\}$

ii. ㄱ

• $m=-1$$m=-1$

  $\begin{array}{c}g(x)=\{\begin{array}{ll}47x-4& (x<0)\\ \\ -2x-4& (x\ge 0)\end{array}\end{array}$$g(x)=\begin{cases} 47x-4&(x<0)\\ \\ -2x-4&(x\ge 0)\end{cases}$

   

  $g(\frac{1}{2})=-5$$g(\cfrac 12)=-5$

  $f(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}-4=\frac{15}{4}$$f(\cfrac 12)=\cfrac 14-4=\cfrac {15}4$

  $\therefore h(\frac{1}{2})=-5$$\therefore~ h(\cfrac 12)=-5$

  True

ii. ㄴ

• $x<0$$x<0$일 때,

  $f(x)$$f(x)$와 $g(x)$$g(x)$의 교점이 하나 발생하면서 미분 불가능

• $x=0$$x=0$일 때

  미분 불가능

• $0\le x$$0\le x$

  교점이 존재하는 지 살펴보면,

  $2x^3-8x=-2x-4$$2x^3 -8x =-2x -4$

  $2x^3-6x+4=0$$2x^3 -6x +4=0$

  $x^3-3x+2=0$$x^3 -3x +2=0$

  $(x-1{)}^2(x+2)$$(x-1)^2 (x+2)$

  $x=1$$x=1$에서 접한다.

  $x=1$$x=1$에서 미분가능

$\therefore$$\therefore~$미분불가능한 점은 $2$$2$개

True

iii. ㄷ

• $m>0$$m>0$일 때 미분불가능한 점이 $1$$1$개가 되기 위해서는 $x<0$$x<0$인 부분에서 접하거나 만나지 않아야 한다.

  $2x^3-8x=-\frac{47}{m}x+\frac{4}{m^3}$$2x^3 -8x=-\cfrac {47}mx +\cfrac 4{m^3}$

  이걸 푸는 건 좀 아닌 듯..

  • 접점의 좌표를 $(t,f(t))$$(t, f(t))$라 하고 접근하자.

    $y=(6t^2-8)(x-t)+2t^3-8t$$y=(6t^2 -8)(x-t)+2t^3 -8t$ 와 $y=-\frac{47}{m}x+\frac{4}{m^3}$$y=-\cfrac {47}m x+\cfrac 4{m^3}$이 일치해야 한다.

    정리하면,

    $\{\begin{array}{l}y=(6t^2-8)x-4t^3\\ \\ y=-\frac{47}{m}x+\frac{4}{m^3}\end{array}$$\begin{cases} y=(6t^2 -8)x -4t^3\\ \\y=-\cfrac {47}m x +\cfrac 4 {m^3}\end{cases}$

    $\therefore -4t^3=\frac{4}{m^3}⟶t=-\frac{1}{m}$$\therefore~ -4t^3 =\cfrac 4{m^3}\quad \longrightarrow \quad t=-\cfrac 1m$

    이를 기울기가 같다는 식에 대입해서 정리하면,

    $8m^2-47m-6=0$$8m^2 -47m-6=0$

    $m=6,-\frac{1}{8}$$m=6,~-\cfrac 18$

    양수만 취급하니까 $m=6$$m=6$일 때 접한다.

    그리고 기울기를 보니 $0<m<6$$0<m<6$일 때에는 만나지 않는다.

  $\therefore m=6$$\therefore~ m=6$일 때가 최댓값이다.

True