2020학년도 11월 나형 20번

20. 함수

$$\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}-x& (x\le 0)\\ \\ x-1& (0<x\le 2)\\ \\ 2x-3& (x>2)\end{array}\end{array}$$

와 상수가 아닌 다항식 $p(x)$$p(x)$에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. 함수 $p(x)f(x)$$p(x)f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이면 $p(0)=0$$p(0)=0$이다.

ㄴ. 함수 $p(x)f(x)$$p(x)f(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하면 $p(2)=0$$p(2)=0$이다.

ㄷ. 함수 $p(x)\{f(x){\}}^2$$p(x)\big\{f(x)\big\}^2$이 실수 전체의 집합에서 미분가능하면 $p(x)$$p(x)$는 $x^2(x-2{)}^2$$x^2 (x-2)^2$으로 나누어 떨어진다.

---

i. 정리

• 너무나 당연한 그래프를 대충 그리자.

  

• $h(x)=p(x)f(x)$$h(x)=p(x)f(x)$라 하자.

• ㄱ.

  $x=0$$x=0$에서 $h(x)$$h(x)$가 연속인지 확인하면 된다.

  • $\underset{x\to 0-}{lim}h(x)=p(0)\times 0$$\lim\limits_{ x\to 0-}h(x)=p(0)\times 0$
  • $\underset{x\to 0+}{lim}h(x)=p(0)\times -1$$\lim\limits_{ x\to 0+ }h(x)=p(0)\times -1$

  $\therefore p(0)=0$$\therefore~ p(0)=0$

  True

• ㄴ.

  $x=0,2$$x=0,~2$에서 미분가능이면 된다.

  $x=2$$x=2$에서 미분가능인지만 확인하면 되겠다.

  우선 그래프상에서 연속 ($\because p(x)$$\because ~p(x)$는 연속)

  $\underset{x\to 2-}{lim}{h}^{\prime }(x)=\underset{x\to 2+}{lim}{h}^{\prime }(x)$$\lim\limits_{ x\to 2-}h'(x)=\lim\limits_{ x\to 2+}h'(x)$

  $h^{\prime }(x)=p^{\prime }(x)f(x)+p(x)f^{\prime }(x)$$h'(x)=p'(x)f(x)+p(x)f'(x)$

  • $\underset{x\to 2-}{lim}{h}^{\prime }(x)=p^{\prime }(2)f(2)+p(2)f^{\prime }(2)$$\lim\limits_{ x\to 2-} h'(x)=p'(2)f(2)+p(2)f'(2)$
  • $\underset{x\to 2+}{lim}{h}^{\prime }(x)=p^{\prime }(2)f(2)+p(2)f^{\prime }(2)$$\lim\limits_{ x\to 2+}h'(x)=p'(2)f(2)+p(2)f'(2)$

  $\therefore p(2)=0$$\therefore~ p(2)=0$

  True

• ㄷ

  $j(x)=p(x)\{f(x){\}}^2$$j(x)=p(x)\big\{f(x)\big\}^2$이라 하자.

  $j(x)$$j(x)$는 $x=0,2$$x=0,~2$에서 미분가능이어야 한다.

  우선 $\{f(x){\}}^2$$\{f(x)\big\}^2$의 그래프를 대충 그려보면,

  

  $j^{\prime }(x)=p^{\prime }(x)\{f(x){\}}^2+2p(x)f(x)f^{\prime }(x)$$j'(x)=p'(x)\big\{f(x)\big\}^2+2p(x)f(x)f'(x)$

  • $\underset{x\to 0}{lim}j(x)=p(0)\{f(0){\}}^2$$\lim\limits_{ x\to 0 }j(x)=p(0)\big\{f(0)\big\}^2$

    $\therefore p(0)=0$$\therefore~ p(0)=0$

  • $\underset{x\to 2}{lim}j(x)=p(2)\{f(2){\}}^2$$\lim\limits_{ x\to 2} j(x)=p(2)\big\{f(2)\big\}^2$

    뭐 딱히 ...

  • $\underset{x\to 0}{lim}{j}^{\prime }(x)=p^{\prime }(0)\{f(0){\}}^2+2p(0)f(0)f^{\prime }(0)$$\lim\limits_{ x\to 0}j'(x)=p'(0)\big\{f(0)\big\}^2+2p(0)f(0)f'(0)$

    $\therefore p^{\prime }(0)=0$$\therefore~ p'(0)=0$

  • $\underset{x\to 2}{lim}{j}^{\prime }(x)=p^{\prime }(2)\{f(2){\}}^2+2p(2)f(2)f^{\prime }(2)$$\lim\limits_{ x\to 2} j'(x)=p'(2)\big\{f(2)\big\}^2+2p(2)f(2)f'(2)$

    $\therefore p(2)=0$$\therefore~ p(2)=0$

  정리하면,

  $p(0)=p^{\prime }(0)=0,p(2)=0$$p(0)=p'(0)=0,~p(2)=0$

  $\therefore p(x)=x^2(x-2)Q(x)$$\therefore~ p(x)=x^2 (x-2)Q(x)\quad$(단, $Q(x)$$Q(x)$는 다항식)

  False