2020년 03월 가형 30번

30. 최고차항의 계수가 $4$$4$인 삼차함수 $f(x)$$f(x)$와 실수 $t$$t$에 대하여 함수 $g(x)$$g(x)$를

$$g(x)={\int }_t^{x}f(s)ds$$

라 하자. 상수 $a$$a$에 대하여 두 함수 $f(x)$$f(x)$와 $g(x)$$g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f^{\prime }(a)=0$$f'(a)=0$

(나) 함수 $|g(x)-g(a)|$$|g(x)-g(a)|$가 미분가능하지 않은 $x$$x$의 개수는 $1$$1$이다.

실수 $t$$t$에 대하여 $g(a)$$g(a)$의 값을 $h(t)$$h(t)$라 할 때, $h(3)=0$$h(3)=0$이고 함수 $h(t)$$h(t)$는 $t=2$$t=2$에서 최댓값 $27$$27$을 갖는다.

$f(5)$$f(5)$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $f(x)=4x^3+\sim ,f^{\prime }(a)=0$$f(x)=4x^3 +\sim,~f'(a)=0$

• $g^{\prime }(x)=f(x)$$g'(x)=f(x)$

• $\begin{array}{r}g(a)={\int }_t^{a}f(s)ds=h(t)\end{array}$$\begin{aligned} g(a)=\int_t^a f(s)ds =h(t)\end{aligned}$

  $h(3)=0,h(2)=27$$h(3)=0,~h(2)=27$(극댓값)

• 조건 (나)에 맞는 $y=g(x)$$y=g(x)$의 개형을 그리면,

  

ii. 생각

• $h(t)$$h(t)$의 극댓값을 생각해보자.

  $h^{\prime }(t)=-f(t)$$h'(t)=-f(t)$

  첫번째 (초록색 그래프)를 기반으로 $y=-f(x)$$y=-f(x)$의 개형을 유추하면,

  

  $f(x)=4(x-2)(x-a{)}^2$$f(x)=4(x-2)(x-a)^2$

  어랏?

  $\begin{array}{r}h(t)={\int }_t^{a}f(s)ds=-{\int }_a^{t}f(s)ds\end{array}$$\begin{aligned} h(t)=\int_t^a f(s)ds=-\int_a^t f(s)ds \end{aligned}$에서 위의 경우로는 $h(3)=0$$h(3)=0$을 만족시킬 수 없다.

  $\therefore a<2$$\therefore~ a<2$

   

• $h(3)=0$$h(3)=0$인 조건을 이용하자.

  $y=f(x)$$y=f(x)$의 그래프

  

   

  $\begin{array}{r}{\int }_3^a(s)ds={\int }_2^{a}f(s)dx+{\int }_3^{2}f(s)ds\end{array}$$\begin{aligned} \int_3^a(s)ds =\int_2^a f(s)dx +\int_3^2 f(s)ds \end{aligned}$

  그런데, $h(2)=27$$h(2)=27$이란 조건으로, $\begin{array}{r}{\int }_3^{2}f(s)ds=-27\end{array}$$\begin{aligned} \int_3^2 f(s)ds=-27\end{aligned}$이어야 한다.

  적분구간을 뒤집어버리면,

  $\begin{array}{r}{\int }_2^{3}f(s)ds=27\end{array}$$\begin{aligned} \int_2^3 f(s)ds=27\end{aligned}$ 을 이용하자.

  • 계산

    $\begin{array}{rl}{\int }_2^{3}f(x)dx& ={\int }_2^{3}4(x-a{)}^2(x-2)dx\\ \\ & =[x^4+8(1+a)x^3+2a(a+4)x-8a^2{]}_2^3\\ \\ & =27\end{array}$$\begin{aligned}\int_2^3 f(x)dx &=\int_2^3 4(x-a)^2 (x-2)dx \\ \\ &=\Big[x^4+8(1+a)x^3 +2a(a+4)x-8a^2\Big]_2^3 \\ \\ &= 27 \end{aligned}$

    식을 정리하면,

    $3a^2-16a-19=0⟶a=-1,a=\frac{19}{3}$$3a^2-16a-19=0\quad \longrightarrow \quad a=-1,~a=\cfrac {19}3$

    그런데, $a<2$$a<2$이므로 $a=-1$$a=-1$이다.

    $\therefore f(x)=4(x+1{)}^2(x-2)$$\therefore~ f(x)=4(x+1)^2 (x-2)$

$\therefore f(5)=4\cdot 6^2\cdot 3=432$$\therefore~ f(5)=4\cdot 6^2 \cdot 3 =432$