2021학년도 11월 나형 30번

30. 함수 $f(x)$$f(x)$는 최고차항의 계수가 $1$$1$인 삼차함수이고, 함수 $g(x)$$g(x)$는 일차함수이다. 함수 $h(x)$$h(x)$를

$$\begin{array}{c}h(x)=\{\begin{array}{ll}|f(x)-g(x)|& (x<1)\\ \\ f(x)+g(x)& (x\ge 1)\end{array}\end{array}$$

이라 하자. 함수 $h(x)$$h(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, $h(0)=0,h(2)=5$$h(0)=0,~h(2)=5$일 때, $h(4)$$h(4)$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• $h(x)$$h(x)$는 미분가능하다.

  $x<1$$x<1$에서 절댓값이 있어도 미분가능하기 위해서는

  $h(0)=h^{\prime }(0)=0$$h(0)=h'(0)=0$이어야 한다.

  $f(0)=g(0),f^{\prime }(0)=g^{\prime }(0)$$f(0)=g(0),~f'(0)=g'(0)$

  그래프로 확인하면

  

  $1<\alpha$$1<\alpha$를 만족해야한다.

  그리고 열린구간 $(0,\alpha )$$(0,~\alpha)$에서 $f(x)<g(x)$$f(x)<g(x)$이다.

  $\underset{x\to 1-}{lim}h(x)=-f(1)+g(1)$$\lim\limits_{ x\to 1-} h(x)=-f(1)+g(1)$

  $\underset{x\to 1+}{lim}h(x)=f(1)+g(1)$$\lim\limits_{ x\to 1+}h(x)=f(1)+g(1)$

  $\therefore f(1)=0$$\therefore~ f(1)=0$

• $h(x)$$h(x)$는 $x=1$$x=1$에서 미분가능하다

  $\underset{x\to 1-}{lim}{h}^{\prime }(x)=|f^{\prime }(1)-g^{\prime }(1)|$$\lim\limits_{ x\to 1-}h'(x)=|f'(1)-g'(1)|$

  $\underset{x\to 1+}{lim}{h}^{\prime }(x)=f^{\prime }(1)+g^{\prime }(1)$$\lim\limits_{ x\to 1+} h'(x)=f'(1)+g'(1)$

  • $f^{\prime }(1)>g^{\prime }(1)$$f'(1)>g'(1)$이면,

    $g^{\prime }(1)=0$$g'(1)=0$

    그런데, $g(x)$$g(x)$는 일차함수이므로 $g^{\prime }(x)$$g'(x)$는 $0$$0$이 아닌 상수이다.

  • $f^{\prime }(1)<g^{\prime }(1)$$f'(1)<g'(1)$이면,

    $f^{\prime }(1)=0$$f'(1)=0$

  $\therefore f(1)=f^{\prime }(1)=0$$\therefore~ f(1)=f'(1)=0$

  $\therefore f(x)=(x-1{)}^2(x-k)$$\therefore~ f(x)=(x-1)^2(x-k)$로 둘 수 있다. (그래프의 $k$$k$와 관련없다;;;;)

• $f^{\prime }(0)=g^{\prime }(0)$$f'(0)=g'(0)$을 이용하자

  $f^{\prime }(x)=2(x-1)(x-k)+(x-1{)}^2$$f'(x)=2(x-1)(x-k)+(x-1)^2$

  $f^{\prime }(0)=2k+1$$f'(0)=2k+1$

  $\therefore g(x)=(2k+1)x-k(\because f(0)=g(0)$$\therefore~ g(x)=(2k+1)x-k\quad (\because f(0)=g(0)$

• $h(2)=5$$h(2)=5$를 이용하면,

  $\begin{array}{rl}h(2)& =f(2)+g(2)\\ \\ & =(2-k)+(3k+2)\\ \\ & =2k+4\\ \\ & =5\end{array}$$\begin{aligned} h(2)&=f(2)+g(2) \\ \\ &= (2-k)+(3k+2)\\ \\ &=2k+4 \\ \\ &= 5 \end{aligned}$

  $\therefore k=\frac{1}{2}$$\therefore~ k=\cfrac 12$

• $h(4)$$h(4)$를 계산하자.

  $f(x)=(x-1{)}^2(x-\frac{1}{2})$$f(x)=(x-1)^2 (x-\cfrac 12)$

  $g(x)=2x-\frac{1}{2}$$g(x)=2x-\cfrac 12$

  $\begin{array}{rl}h(4)& =f(4)+g(4)\\ \\ & =9\cdot \frac{7}{2}+4-\frac{1}{2}\\ \\ & =39\end{array}$$\begin{aligned} h(4)&=f(4)+g(4)\\ \\ &=9\cdot \cfrac 72 +4-\cfrac 12 \\ \\ &= 39 \end{aligned}$

$\therefore h(4)=39$$\therefore~ h(4)=39$