2020년 10월 나형 30번

30. 함수 $\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}-3x^2& (x<1)\\ \\ 2(x-3)& (x\ge 1)\end{array}\end{array}$$f(x)=\begin{cases} -3x^2 &(x<1)\\ \\ 2(x-3)&(x\ge 1)\end{cases}$에 대하여 함수 $g(x)$$g(x)$를

$$g(x)={\int }_0^x(t-1)f(t)dt$$

라 할 때, 실수 $t$$t$에 대하여 직선 $y=t$$y=t$와 곡선 $y=g(x)$$y=g(x)$가 만나는 서로 다른 점의 개수를 $h(t)$$h(t)$라 하자.

$|\underset{t\to a+}{lim}h(t)-\underset{t\to a-}{lim}h(t)|=2$$\Big|\lim\limits_{ t\to a+} h(t)-\lim\limits_{ t\to a-}h(t)\Big|=2$를 만족시키는 모든 실수 $a$$a$에 대하여 $|a|$$|a|$의 값의 합을 $S$$S$라 할 때, $30S$$30S$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• 우선 $f(x)$$f(x)$의 그래프를 그리자.

  

• $g(x)$$g(x)$를 구하자.

  $\begin{array}{c}g(x)=\{\begin{array}{ll}\begin{array}{r}{\int }_0^x-3t^2(t-1)dt\end{array}& (x<1)\\ \\ \begin{array}{r}{\int }_0^1-3t^2(t-1)dt+{\int }_1^{x}2(t-3)(t-1)dt\end{array}& (1\le x)\end{array}\end{array}$$g(x)=\begin{cases} \begin{aligned} \int_0^x -3t^2 (t-1)dt \end{aligned} &(x<1) \\ \\ \begin{aligned} \int_0^1 -3t^2(t-1)dt +\int_1^x 2(t-3)(t-1)dt \end{aligned} &(1\le x) \end{cases}$

  더럽지만 계산을 안 할 수 가 없다...

  $\begin{array}{c}g(x)=\{\begin{array}{ll}-\frac{3}{4}{x}^4+x^3& (x<1)\\ \\ \frac{2}{3}{x}^3-4x^2+6x-\frac{8}{3}+\frac{1}{4}& (1\le x)\end{array}\end{array}$$g(x)=\begin{cases} -\cfrac 34 x^4 +x^3 &(x<1)\\ \\ \cfrac 23x^3 -4x^2 +6x-\cfrac 83 +\cfrac 14&(1\le x) \end{cases}$

  이제 그래프를 그리자.

  극값들을 표현하는 것을 잊지 말자...하...

  

  $\begin{array}{c}h(t)=\{\begin{array}{ll}1& (t<-\frac{29}{12}\\ \\ 2& (t=-\frac{29}{12})\\ \\ 3& (-\frac{29}{12}<t<\frac{1}{4})\\ \\ 2& (t=\frac{1}{4})\\ \\ 1& (\frac{1}{4}<t)\end{array}\end{array}$$h(t)=\begin{cases} 1&(t<-\cfrac {29}{12} \\ \\ 2&(t=-\cfrac {29}{12} ) \\ \\ 3 &(-\cfrac {29}{12}<t<\cfrac 14) \\ \\ 2 &(t=\cfrac 14) \\ \\ 1&(\cfrac 14<t)\end{cases}$

조건을 만족하는 값은 $a=-\frac{29}{12},\frac{1}{4}$$a=-\cfrac {29}{12},~\cfrac 14$

$\therefore \frac{29}{12}+\frac{1}{4}=\frac{32}{12}=\frac{8}{3}$$\therefore~ \cfrac {29}{12}+\cfrac 14 =\cfrac{ 32}{12} =\cfrac 83$

$\therefore 30S=80$$\therefore~ 30S=80$