2021학년도 09월 나형 30번

30. 삼차함수 $f(x)$$f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(1)=f(3)=0$$f(1)=f(3)=0$

(나) 집합 $\{x|x\ge 1$$\{x|x\ge 1$이고 $f^{\prime }(x)=0\}$$f'(x)=0\}$의 원소의 개수는 $1$$1$이다.

상수 $a$$a$에 대하여 함수 $g(x)=|f(x)f(a-x)|$$g(x)=|f(x)f(a-x)|$가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, $\frac{g(4a)}{f(0)\times f(4a)}$$\cfrac {g(4a)}{f(0)\times f(4a)}$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• 조건에 맞는 $f(x)$$f(x)$의 개형을 그려보자.

  

  $f(x)=k(x-\alpha )(x-1)(x-3)$$f(x)=k(x-\alpha)(x-1)(x-3)$이라 하자. 우선 $k>0$$k>0$이라 하자.

  $f(a-x)=-kx(x-a+\alpha )(x+-a+1)(x-a+3)$$f(a-x)=-kx(x-a+\alpha)(x+-a+1 )(x-a+3)$

• $g(x)$$g(x)$가 미분가능하기 위해서는?

  $g(x)=0$$g(x)=0$의 근이 모두 중근이 되어야만 한다.

  $f(x)=0$$f(x)=0$의 근은 $\alpha <1<3$$\alpha<1<3$

  $f(a-x)=0$$f(a-x)=0$의 근은 $a-3<a-1<a-\alpha$$a-3<a-1<a-\alpha$

  $\begin{array}{c}\therefore \{\begin{array}{l}\alpha =a-3\\ \\ 1=a-1\\ \\ 3=a-\alpha \end{array}\end{array}$$\therefore~ \begin{cases} \alpha =a-3\\ \\ 1=a-1\\ \\ 3=a-\alpha \end{cases}$

  이를 이용하면, $a=2,\alpha -1$$a=2,~\alpha -1$

  $f(x)=k(x+1)(x-1)(x-3)$$f(x)=k(x+1)(x-1)(x-3)$

  $f(2-a)=-f(x)$$f(2-a)=-f(x)$

• 계산하자.

  $\begin{array}{rl}\frac{g(4a)}{f(0)\times f(4a)}& =\frac{|-\{f(4a){\}}^2|}{f(0)\times f(4a)}\\ \\ & =\frac{\{f(4a){\}}^2}{f(0)\times f(4a)}\\ \\ & =\frac{f(4a)}{f(0)}\\ \\ & =\frac{f(8)}{f(0)}\\ \\ & =\frac{k\cdot 9\cdot 7\cdot 5}{k\cdot 1\cdot -1\cdot -3}\\ \\ & =105\end{array}$$\begin{aligned}\cfrac {g(4a)}{f(0)\times f(4a)}&=\cfrac { |-\{f(4a)\}^2|}{f(0)\times f(4a)} \\ \\ &=\cfrac {\{f(4a)\}^2}{f(0)\times f(4a)} \\ \\ &=\cfrac {f(4a)}{f(0)} \\ \\ &=\cfrac{f(8)}{f(0)}\\ \\ &=\cfrac {k\cdot 9\cdot 7\cdot 5}{k\cdot 1\cdot -1\cdot -3}\\ \\ &=105 \end{aligned}$

$\therefore 105$$\therefore~ 105$