2021학년도 06월 나형 30번

30. 이차함수 $f(x)$$f(x)$는 $x=-1$$x=-1$에서 극대이고, 삼차함수 $g(x)$$g(x)$는 이차항의 계수가 $0$$0$이다. 함수

$$\begin{array}{c}h(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)& (x\le 0)\\ \\ g(x)& (x>0)\end{array}\end{array}$$

이 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시킬 때, $h^{\prime }(-3)+h^{\prime }(4)$$h'(-3)+h'(4)$의 값을 구하시오.

(가) 방정식 $h(x)=h(0)$$h(x)=h(0)$의 모든 실근의 합은 $1$$1$이다.

(나) 닫힌구간 $[-2,3]$$[-2,~3]$에서 함수 $h(x)$$h(x)$의 최댓값과 최솟값의 차는 $-3+4\sqrt{3}$$-3+4\sqrt 3$이다.

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i. 생각

• $y=h(x)$$y=h(x)$ 미분가능이다.

  • $\underset{x\to 0-}{lim}h(x)=\underset{x\to 0+}{lim}h(x)⟶f(0)=g(0)$$\lim\limits_{ x\to 0-}h(x)=\lim\limits_{ x\to 0+}h(x)\quad \longrightarrow \quad f(0)=g(0)$
  • $\underset{x\to 0-}{lim}{h}^{\prime }(x)=\underset{x\to 0+}{lim}{h}^{\prime }(x)⟶f^{\prime }(0)=g^{\prime }(0)$$\lim\limits_{ x\to 0-} h'(x)=\lim\limits_{ x\to 0+}h'(x)\quad \longrightarrow \quad f'(0)=g'(0)$

  아직은 문자식이 더러우니 적어만 놓자.

• $h(x)=h(0)$$h(x)=h(0)$의 실근의 합은 $1$$1$이다.

  이거 그래프로 좀 확인해보자.

  이차함수가 극댓값을 가진다? 최고차항의 계수가 음수이다!

  

  그래프를 기준으로 함수를 표현하면,

  $f(x)=-kx(x+\alpha -1)+f(0)$$f(x)=-kx(x+\alpha -1)+f(0)$

  $g(x)=a(x-\alpha )x(x+\alpha )+f(0)$$g(x)=a(x-\alpha )x(x+\alpha )+f(0)$

• $f(x)$$f(x)$는 $x=-1$$x=-1$에서 극댓값을 갖는다.

  $f(x)=-k(x+1{)}^2+k+f(0)(f(0)=g(0)$$f(x)=-k(x+1)^2 +k+f(0)\quad (f(0)=g(0)$이용$)$$)$

  $f(x)=-kx(x+\alpha -1)+f(0)$$f(x)=-kx(x+\alpha -1)+f(0)$

  계수를 비교하자.

  $-k{x}^2-2kx+f(0)=-k{x}^2-k(\alpha -1)x+f(0)$$-kx^2 -2kx +f(0)=-kx^2 -k(\alpha -1)x +f(0)$

  $\therefore 2=\alpha -1$$\therefore~ 2=\alpha -1$

  $\therefore \alpha =3$$\therefore~ \alpha=3$

• 이제 문제를 한번 정리하자.

  • $f(x)=-k(x+1{)}^2+k+f(0)$$f(x)=-k(x+1)^2+k+f(0)$

    $\Rightarrow f^{\prime }(x)=-2k(x+1)$$\Rightarrow \quad f'(x)=-2k(x+1)$

  • $g(x)=ax(x^2-3^2)+f(0)$$g(x)=ax(x^2 -3 ^2)+f(0)$

    $\Rightarrow g^{\prime }(x)=3a(x^2-3)$$\Rightarrow \quad g'(x)=3a(x^2 -3)$

  • $[-2,3]$$[-2,~3]$의 최댓값과 최소값의 차를 구하자.

    • $f(-1)=k+f(0)$$f(-1)=k+f(0)$
    • $g(\sqrt{3})=-6a\sqrt{3}+f(0)$$g(\sqrt 3)=-6a\sqrt 3 +f(0)$

    $\therefore (k+f(0))-(f(0)-6a\sqrt{3})=k+6a\sqrt{3}=3+4\sqrt{3}$$\therefore~ (k+f(0))-(f(0)-6a\sqrt 3)=k+6a\sqrt 3 =3+4\sqrt 3$

    이거 문제가 좀 잘못되었는데?

    $f(x)$$f(x)$와 $g(x)$$g(x)$의 계수는 유리수 조건이 없다?

    뭐 상관없나?

• $h^{\prime }(-3)+h^{\prime }(4)$$h'(-3)+h'(4)$를 구하자.

  • $h^{\prime }(-3)=4k$$h'(-3)=4k$
  • $h^{\prime }(4)=39a$$h'(4)=39a$

  유리수조건이 빠졌어!!! 유리수 조건이면, $k=3,a=\frac{2}{3}$$k=3,~a=\cfrac 23$

$\therefore 12+26=38$$\therefore~ 12+26=38$