2020년 04월 나형 30번

30. 양의 실수 $t$$t$와 최고차항의 계수가 $1$$1$인 삼차함수 $f(x)$$f(x)$에 대하여 함수

$$g(t)=\frac{f(t)-f(0)}{t}$$

이라 하자. 두 함수 $f(x)$$f(x)$와 $g(t)$$g(t)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $g(t)$$g(t)$의 최솟값은 $0$$0$이다.

(나) $x$$x$에 대한 방정식 $f^{\prime }(x)=g(a)$$f'(x)=g(a)$를 만족시키는 $x$$x$의 값은 $a$$a$와 $\frac{5}{3}$$\cfrac 53$이다. (단, $a>\frac{5}{3}$$a>\cfrac 53$인 상수이다.)

자연수 $m$$m$에 대하여 집합 $A_m$$A_m$을

$$A_m=\{f^{\prime }(x)=g(m),0<x\le m\}$$

이라 할 때, $n(A_m)=2$$n(A_m)=2$를 만족시키는 모든 자연수 $m$$m$의 값의 합을 구하시오.

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i. 생각

• $g(t)$$g(t)$를 보자.

  이거이거

  $g(t)=\frac{f(t)-f(0)}{t-0}$$g(t)=\cfrac {f(t)-f(0)}{t-0}$으로 볼 수 있겠다?

  그럼,

  $g(t)$$g(t)$는 $(t,f(t)),(0,f(0))$$(t,~f(t)),~(0,~f(0))$ 두 점 사이의 기울기를 정의한 것이다.

• $g(t)$$g(t)$의 최솟값이 $0$$0$이다

  $y=f(x)$$y=f(x)$의 극솟값은 $f(0)$$f(0)$과 같다!

• $f^{\prime }(x)=g(a)$$f'(x)=g(a)$의 근은 $x=a,\frac{5}{3}$$x=a,~\cfrac 53$ (단, $\frac{5}{3}<a$$\cfrac 53<a$)

  $g(t)\ge 0$$g(t)\ge 0$

  $f^{\prime }(a)=g(a)\ge 0,f^{\prime }(\frac{5}{3})=g(a)\ge 0$$f'(a)=g(a)\ge 0,~f'(\cfrac 53)=g(a)\ge 0$

  

  $g(a)\ne 0$$g(a)\neq 0$이면 가능할 수가 없다!

  $\therefore f^{\prime }(x)=(3x-5)(x-a)$$\therefore~ f'(x)=(3x-5)(x-a)$

  이를 이용하여 $f(x)$$f(x)$를 구하면,

  $f(x)=x^3-\frac{5+3a}{2}{x}^2+5ax+f(0)$$f(x)=x^3 -\cfrac {5+3a}2 x^2 +5ax +f(0)$

  이제 $g(t)$$g(t)$를 계산하자.

  $g(t)=t^2-\frac{5+3a}{2}t+5a$$g(t)=t^2 -\cfrac {5+3a}2 t +5a$

  $g(a)=0$$g(a)=0$을 이용하면,

  $a^2-\frac{5+3a}{2}a+5a=0$$a^2 -\cfrac {5+3a}2 a+5a=0$

  $\frac{5}{2}<a$$\cfrac 52<a$이므로,

  $a-\frac{5+3a}{2}+5=0⟶a=5$$a-\cfrac {5+3a}2 +5=0\quad \longrightarrow \quad a=5$

  $\therefore g(t)=t^2-10t+25=(t-5{)}^2$$\therefore~ g(t)=t^2 -10t+25=(t-5)^2$

  $\therefore f^{\prime }(x)=(3x-5)(x-5)=3x^2-20x+25$$\therefore~ f'(x)=(3x-5)(x-5)=3x^2 -20x +25$

• 그래프를 그리자!

  

  $m=5$$m=5$ 일 때 $x=\frac{5}{3},5$$x=\cfrac 53,~5$

  $m=6$$m=6$일 때에도

  $⋮$$\quad \vdots$

  $m=9$$m=9$까지 가능하다.

$\therefore 5+6+\cdots +9=\frac{5(5+9)}{2}=35$$\therefore~ 5+6+\cdots +9=\cfrac {5(5+9)}2=35$