2020년 03월 나형 30번

30. 닫힌구간 $[-1,1]$$[-1,~1]$에서 정의된 연속함수 $f(x)$$f(x)$는 정의역에서 증가하고 모든 실수 $x$$x$에 대하여 $f(-x)=-f(x)$$f(-x)=-f(x)$가 성립할 때, 함수 $g(x)$$g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 닫힌구간 $[-1,1]$$[-1,~1]$에서 $g(x)=f(x)$$g(x)=f(x)$이다.

(나) 닫힌구간 $[2n-1,2n+1]$$[2n-1,~2n+1]$에서 함수 $y=g(x)$$y=g(x)$의 그래프는 함수 $y=f(x)$$y=f(x)$의 그래프를 $x$$x$ 축의 방향으로 $2n$$2n$만큼, $y$$y$ 축의 방향으로 $6n$$6n$ 만큼 평행이동한 그래프이다. (단, $n$$n$은 자연수이다.)

$f(1)=3$$f(1)=3$이고 $\begin{array}{r}{\int }_0^{1}f(x)dx=1\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^1 f(x)dx =1\end{aligned}$일 때, $\begin{array}{r}{\int }_3^{6}g(x)dx\end{array}$$\begin{aligned} \int_3^6 g(x)dx \end{aligned}$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $[2n-1,2n+1]g(x)=f(x-2n)+6n$$[2n-1,~2n+1]\quad g(x)=f(x-2n)+6n$

ii. 생각

• $n=1$$n=1$이면,

  $[1,3]g(x)=f(x-2)+6$$[1,~3]\quad g(x)=f(x-2)+6$

• $n=2$$n=2$이면,

  $[3,5]g(x)=f(x-4)+12$$[3,~5]\quad g(x)=f(x-4)+12$

어랏? 그냥 죽죽 이어서 붙이면 되는데?

$\begin{array}{rl}{\int }_3^{6}g(x)dx& =3\times (3+4+5)+3+2\\ \\ & =41\end{array}$$\begin{aligned} \int_3^6g(x)dx &=3\times (3+4+5)+3+2\\ \\ &= 41\end{aligned}$

$\therefore 41$$\therefore~ 41$

뭐지 이딴 문제가 왜?