2020년 03월 나형 21번

21. 이차함수 $g(x)=x^2-6x+10$$g(x)=x^2 -6x+10$에 대하여 삼차함수 $f(x)$$f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 $f(x)=0$$f(x)=0$은 서로 다른 세 실근을 갖는다.

(나) 함수 $(f\circ g)(x)$$(f\circ g)(x)$의 최솟값을 $m$$m$이라 할 때, 방정식 $g(f(x))=m$$g(f(x))=m$의 서로 다른 실근의 개수는 $2$$2$이다.

(다) 방정식 $g(f(x))=17$$g(f(x))=17$은 서로 다른 세 실근을 갖는다.

함수 $f(x)$$f(x)$의 극댓값과 극솟값의 합을 구하시오.

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i. 정리

• $g(x)=x^2-6x+10=(x-3{)}^2+1$$g(x)=x^2 -6x +10=(x-3)^2 +1$
• $f(x)=0⟶x=\alpha <\beta <\gamma$$f(x)=0\quad\longrightarrow \quad x=\alpha<\beta<\gamma$
• $g(f(x))\ge m$$g(f(x))\ge m$
• $g(f(x))=m⟶2$$g(f(x))=m\quad \longrightarrow \quad 2$개의 실근
• $g(f(x))=17⟶3$$g(f(x))=17\quad \longrightarrow \quad 3$개의 실근

ii. 생각

• $y=f(x)$$y=f(x)$의 개형을 생각하자.

  

  • 극댓값은 $y_1$$y_1$, 극솟값은 $y_2$$y_2$
  • 최고차항의 계수 양수일 때는 녹색, 음수일 때는 뻘건 색

  • 최고차항의 계수가 양수일 때

    $y=f(x)$$y=f(x)$의 치역을 생각하면

    $-\mathrm{\infty }\to y_1\to y_2\to \mathrm{\infty }$$-\infty\to y_1\to y_2\to \infty$

• $y=g(x)$$y=g(x)$의 개형을 생각하자.

  

  • 합성함수의 개념을 생각하자.

    $y=g(f(x))$$y=g(f(x))$는 $y=f(x)$$y=f(x)$의 치역이 $y=g(x)$$y=g(x)$의 정의역이 된다.

  • 이 개념에 맞춰서 조합을 생각하자.

    1. 대충 우선 아무렇게나 $y=f(x)$$y=f(x)$의 치역을 그려보자.

       

       $m=1$$m=1$이지만, $g(f(x))=m$$g(f(x))=m$은 하나의 실근만 갖는다.

       그럼 $y_1=3$$y_1=3$이면?

    2. $y_1=3$$y_1=3$을 생각하고 그리자

       

       $g(f(x))=1$$g(f(x))=1$은 $2$$2$개의 실근을 갖는다.

       그리고 극댓값은 $y_1=3$$y_1=3$ 임을 알 수 있다.

    3. $g(f(x))=17$$g(f(x))=17$은 서로 다른 세 실근을 갖는다.

       • $y=f(x)$$y=f(x)$의 치역을 생각하자.

         • $-\mathrm{\infty }\to y_1$$-\infty\to y_1$ $f(x_1)=-1$$f(x_1)=-1$을 만족하는 근 하나 : $x_1$$x_1$
         • $y_1\to y_2=-1$$y_1\to y_2=-1$이면, $f(x_2)=-1$$f(x_2)=-1$을 만족하는 또 다른 근 하나 : $x_2$$x_2$
         • $y_2\to \mathrm{\infty }$$y_2\to\infty$에서 $f(x_3)=7$$f(x_3)=7$을 만족하는 또 또다른 근 하나 $x_3$$x_3$

$\therefore y_1=3,y_2=-1$$\therefore~ y_1=3,~y_2=-1$

$\therefore 3+(-1)=2$$\therefore~ 3+(-1)=2$