2020년 04월 나형 21번

21. 좌표평면에 세 점 $O(0,0),A(\sqrt{2},0),B(0,\sqrt{2})$$O(0,~0),~A(\sqrt 2,~0),~B(0,~\sqrt 2)$가 있다. 점 $O$$O$를 중심으로 하는 원 $C$$C$의 반지름의 길이가 $t$$t$일 때, 삼각형 $ABP$$ABP$의 넓이가 자연수인 원 $C$$C$ 위의 점의 $P$$P$의 개수를 함수 $f(t)$$f(t)$라 하자. <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오. (단, 점 $P$$P$는 직선 $AB$$AB$ 위에 있지 않다.)

ㄱ. $f(\frac{1}{2})=2$$f\Big(\cfrac 12\Big)=2$

ㄴ. $\underset{t\to 1+}{lim}f(t)\ne f(1)$$\lim\limits_{ t\to 1+} f(t)\neq f(1)$

ㄷ. $0<a<4$$0<a<4$인 실수 $a$$a$에 대하여 함수 $f(t)$$f(t)$가 $t=a$$t=a$에서 불연속인 $a$$a$의 개수는 $3$$3$이다.

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i. 생각

• 그냥 직선 좍좍 그려놓고 시작하면 되겠는데?

• 점 $O$$O$와 $\overline{AB}$$\overline{ AB}$ 사이의 거리는 $1$$1$

• $\overline{AB}=2$$\overline{ AB}=2$

• $S=\frac{1}{2}\times 2\times h$$S=\cfrac 12\times 2\times h\quad$(단, $h$$h$는 높이)

• 그리자!

  

• $f(t)$$f(t)$를 구하자.

  $\begin{array}{c}f(t)=\{\begin{array}{ll}2& (0<t<1)\\ \\ 3& (t=1)\\ \\ 4& (1<t<2)\\ \\ 6& (t=2)\\ \\ 8& (2<t<3)\\ \\ 10& (t=3)\\ \\ 12& (3<t<4)\end{array}\end{array}$$f(t)=\begin{cases}2&(0<t<1)\\ \\3 &(t=1)\\ \\4&(1<t<2)\\ \\ 6&(t=2)\\ \\ 8&(2<t<3) \\ \\ 10 &(t=3) \\ \\ 12 &(3<t<4) \end{cases}$

ii. 보기

• ㄱ

  True

• ㄴ

  $\underset{t\to 1+}{lim}f(t)=4$$\lim\limits_{ t\to 1+}f(t)=4$

  $f(1)=3$$f(1)=3$

  True

• ㄷ

  True