2019년 10월 나형 30번

30. 양수 $a$$a$에 대하여 최고차항의 계수가 $1$$1$인 이차함수 $f(x)$$f(x)$와 최고차항의 계수가 $1$$1$인 삼차함수 $g(x)$$g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(0)=g(0)$$f(0)=g(0)$

(나) $\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{x}=0,\underset{x\to a}{lim}\frac{g(x)}{x-a}=0$$\lim\limits_{ x\to 0}\cfrac{f(x)}x =0,~\lim\limits_{ x\to a} \cfrac {g(x)}{x-a}=0$

(다) $\begin{array}{r}{\int }_0^a\{g(x)-f(x)\}dx=36\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^a \big\{g(x)-f(x)\big\} dx =36\end{aligned}$

$\begin{array}{r}3{\int }_0^a|f(x)-g(x)|dx\end{array}$$\begin{aligned} 3\int_0^a \big|f(x)-g(x)\big|dx \end{aligned}$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• $\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{x}=0$$\lim\limits_{ x\to 0}\cfrac{f(x)}x =0$

  $f(x)$$f(x)$는 $x$$x$를 인수로 가지고 있어야 한다.

  $f(x)=x(x+\alpha )$$f(x)=x(x+\alpha)$라 하면,

  $\alpha =0$$\alpha =0$

  $\therefore f(x)=x^2,f(0)=g(0)=0$$\therefore~ f(x)=x^2,~f(0)=g(0)=0$

• $\underset{x\to a}{lim}\frac{g(x)}{x-a}=0$$\lim\limits_{ x\to a} \cfrac {g(x)}{x-a}=0$

  우선 $g(x)$$g(x)$는 $x$$x$를 인수로 가지고 있어야 하며, $(x-a)$$(x-a)$도 인수로 가지고 있어야 한다.

  $g(x)=x(x-a)(x-\alpha )$$g(x)=x(x-a)(x-\alpha)$

  그런데 조건을 만족시키기 위해서는

  $g(x)=x(x-a{)}^2$$g(x)=x(x-a)^2$

• 그래프를 그리자

  

  • $f(x)$$f(x)$와 $g(x)$$g(x)$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\alpha$$\alpha$
  • $f(x)$$f(x)$와 $g(x)$$g(x)$와 $x=a$$x=a$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $\beta$$\beta$라 하자.

  $\begin{array}{r}{\int }_0^a\{g(x)-f(x)\}dx=\alpha -\beta =36\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^a \big\{g(x)-f(x)\big\} dx =\alpha -\beta =36\end{aligned}$

• 조건 (다)를 이용하여 $a$$a$를 구하자.

  $\begin{array}{rl}{\int }_0^a\{x^3-(2a+1)x^2+a^{2}x\}dx& =[\frac{1}{4}{x}^4-\frac{2a+1}{3}{x}^3+\frac{a^2}{2}{x}^2{]}_0^a\\ \\ & =\frac{1}{4}{a}^4-\frac{2a+1}{3}{a}^3+\frac{a^4}{2}\\ \\ & =36\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^a \big\{ x^3 -(2a+1)x^2 +a^2 x \big\} dx &= \Big[\cfrac 14 x^4 -\cfrac {2a+1}3 x^3 +\cfrac {a^2}2 x^2\Big]_0^a \\ \\ &= \cfrac 14 a^4 -\cfrac {2a+1}3a^3+\cfrac {a^4}2\\ \\ &=36 \end{aligned}$

  방정식을 정리하면,

  $a^4-4a^3-36\times 12=0$$a^4-4a^3 -36\times 12=0$

  $a=6$$a=6$

• $f(x)=g(x)$$f(x)=g(x)$를 구하면,

  $x^2=x(x-6{)}^2$$x^2 =x(x-6)^2$

  $x=4,9$$x=4,~9$

  그런데, $6$$6$보다 작아야 하므로 $x=4$$x=4$

• $\begin{array}{r}{\int }_0^a|f(x)-g(x)|dx=\alpha +\beta \end{array}$$\begin{aligned} \int_0^a |f(x)-g(x)|dx =\alpha +\beta \end{aligned}$

  $\begin{array}{r}{\int }_0^4\{g(x)-f(x)\}dx=\frac{16\times 14}{3}=\alpha \end{array}$$\begin{aligned} \int_0^4 \big\{g(x)-f(x)\big\}dx =\cfrac {16\times 14}3=\alpha \end{aligned}$

  $\beta =\alpha -36$$\beta =\alpha -36$

  $\therefore \alpha +\beta =2\alpha -36$$\therefore~ \alpha +\beta =2\alpha -36$

  계산하면,

  $\begin{array}{r}{\int }_0^a|f(x)-g(x)|dx=\frac{340}{3}\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^a \big|f(x)-g(x)|dx =\cfrac {340}3\end{aligned}$

$\therefore \begin{array}{r}3{\int }_0^a|f(x)-g(x)|dx\end{array}=340$$\therefore~ \begin{aligned} 3\int_0^a \big|f(x)-g(x)\big|dx \end{aligned}=340$