2020학년도 09월 나형 30번

30. 최고차항의 계수가 $1$$1$인 사차함수 $f(x)$$f(x)$에 대하여 네 개의 수 $f(-1),f(0),f(1),f(2)$$f(-1),~f(0),~f(1),~f(2)$가 이 순서대로 등차수열을 이루고, 곡선 $y=f(x)$$y=f(x)$ 위의 점 $(-1,f(-1))$$(-1,~f(-1))$에서의 접선과 점 $(2,f(2))$$(2,~f(2))$에서의 접선이 점 $(k,0)$$(k,~0)$에서 만난다.

$f(2k)=20$$f(2k)=20$일 때, $f(4k)$$f(4k)$의 값을 구하시오. (단, $k$$k$는 상수이다.)

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i. 생각

• $(-1,f(-1)),(0,f(0)),(1,f(1)),(2,f(2))$$(-1,~f(-1)),~(0,~f(0)),~(1,~f(1)),~(2,~f(2))$가 등차수열이다

  한 직선 위에 있다!

  

  $f(x)=mx+n$$f(x)=mx+n$의 근이 $x=-1,0,1,2$$x=-1,~0,~1,~2$이다.

  $\therefore f(x)-mx-n=(x+1)x(x-1)(x-2$$\therefore~ f(x)-mx-n=(x+1)x(x-1)(x-2$)

  $\therefore f(x)=x(x+1)(x-1)(x-2)+mx+n$$\therefore~ f(x)=x(x+1)(x-1)(x-2)+mx+n$

• 조건을 사용하기 위해 정리하자.

  • $f(-1)=-m+n$$f(-1)=-m+n$
  • $f(2)=2m+n$$f(2)=2m+n$

  $f^{\prime }(x)=(x+1)(x-1)(x-2)+x(x-1)(x-2)+x(x+1)(x-2)+x(x+1)(x-1)+m$$f'(x)=(x+1)(x-1)(x-2)+x(x-1)(x-2)+x(x+1)(x-2)+x(x+1)(x-1)+m$

  • $f^{\prime }(-1)=m-6$$f'(-1)=m-6$
  • $f^{\prime }(2)=m+6$$f'(2)=m+6$

• 접선을 구하고 $(k,0)$$(k,~0)$을 지나도록 조건을 사용하자.

  • $(-1,f(-1))$$(-1,~f(-1))$을 지나는 접선

    $y=(m-6)(x+1)+f(-1)$$y=(m-6)(x+1)+f(-1)$

    $0=(m-6)(k+1)-m+n$$0=(m-6)(k+1)-m+n$

    $(m-6)k+m-6-m+n=0$$(m-6)k+m-6-m+n=0$

    $(m-6)k=-n+6$$(m-6)k=-n+6$

  • $(2,f(2))$$(2,~f(2))$을 지나는 접선

    $y=(m+6)(x-2)+f(2)$$y=(m+6)(x-2)+f(2)$

    $0=(m+6)(k-2)+2m+n$$0=(m+6)(k-2)+2m+n$

    $(m+6)k=-n+12$$(m+6)k=-n+12$

  두 식을 빼면,

  $-12k=-6⟶k=\frac{1}{2}$$-12k=-6\quad \longrightarrow \quad k=\cfrac 12$

  식을 정리하면,

  $(m+6)=-2n+24$$(m+6)=-2n+24$

  $m+2n=18$$m+2n=18$

• $f(2k)=20$$f(2k)=20$을 이용하면,

  $f(1)=20$$f(1)=20$

  $f(1)=m+n=20$$f(1)=m+n=20$

• $m,n$$m,~n$에 대한 연립방정식을 풀면,

  $n=-2,m=22$$n=-2,~m=22$

$\therefore f(x)=(x+1)x(x-1)(x-2)+22x-2$$\therefore~ f(x)=(x+1)x(x-1)(x-2)+22x-2$

$\therefore f(4k)=f(2)=44-2=42$$\therefore~ f(4k)=f(2)=44-2=42$