2019년 07월 나형 30번

30. $x=-3$$x=-3$과 $x=a(a>-3)$$x=a~(a>-3)$에서 극값을 갖는 삼차함수 $f(x)$$f(x)$에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

$$\begin{array}{c}g(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)& (x<-3)\\ \\ {\int }_0^x|f^{\prime }(t)|dt& (x\ge -3)\end{array}\end{array}$$

이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $g(-3)=-16,g(a)=-8$$g(-3)=-16,~g(a)=-8$

(나) 함수 $g(x)$$g(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(다) 함수 $g(x)$$g(x)$는 극솟값을 갖는다.

$\begin{array}{r}|{\int }_a^4\{f(x)+g(x)\}dx|\end{array}$$\begin{aligned} \Big| \int_a^4 \big\{f(x)+g(x)\big\} dx \Big|\end{aligned}$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• $y=g(x)$$y=g(x)$는 $x=-3$$x=-3$에서 연속이고 $g(-3)=-16$$g(-3)=-16$

  $\begin{array}{rl}f(-3)& ={\int }_0^{-3}|f^{\prime }(t)|dt=-16\end{array}$$\begin{aligned} f(-3)&=\int_0^{-3} |f'(t)|dt=-16\end{aligned}$

• $\begin{array}{r}{\int }_0^{-3}|f^{\prime }(t)|dt=-16\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^{-3} |f'(t)|dt=-16 \end{aligned}$을 그래프를 이용하여 접근하자.

  • $a>0$$a>0$일 때

    

    $g(a)=-8$$g(a)=-8$이 성립하지 않는다!

  • $a<0$$a<0$일 때,

    

  $\therefore -3<a<0$$\therefore~ -3<a<0$

• $y=g(x)$$y=g(x)$는 극솟값을 갖는다?

  • $y=f(x)$$y=f(x)$의 최고차항의 계수가 양수이면,

    

    $g(x)$$g(x)$의 개형을 유추하면 극소값을 가질 수 없다.

  • $y=f(x)$$y=f(x)$의 최고차항의 계수가 음수이면,

    

    $y=f(x)$$y=f(x)$의 최고차항의 계수는 음수이다!

  • $y=g(x)$$y=g(x)$의 개형을 그리자.

    

    $\begin{array}{r}|{\int }_a^4\{f(x)+g(x)\}dx|\end{array}$$\begin{aligned} \Big| \int_a^4 \big\{f(x)+g(x)\big\} dx \Big|\end{aligned}$를 계산하자.

    어?

    $a\le x$$a\le x$일 때, $g(x)$$g(x)$는 $f(x)$$f(x)$를 $y=-8$$y=-8$ 에 대칭이동시킨 것과 일치한다!

    뭐 한번에 하기 복잡하니까

    1. $f(x)$$f(x)$를 $y$$y$ 축으로 $8$$8$만큼 이동 시킨 후
    2. $x$$x$축에 대하여 대칭이동을 하고
    3. $y$$y$축으로 $-8$$-8$ 만큼 이동시키면 된다.

    $g(x)=-(f(x)+8)-8=-f(x)-16$$g(x)=-(f(x)+8)-8=-f(x)-16$

• $\begin{array}{r}|{\int }_a^4\{f(x)+g(x)\}dx|\end{array}$$\begin{aligned} \Big| \int_a^4 \big\{f(x)+g(x)\big\} dx \Big|\end{aligned}$를 계산하자.

  $\begin{array}{rl}|{\int }_a^4\{f(x)+g(x)\}dx|& =|{\int }_a^4\{f(x)-f(x)-16\}dx|\\ \\ & =|{\int }_a^4-16dx|\\ \\ & =16(4-a)\end{array}$$\begin{aligned} \Big| \int_a^4 \big\{f(x)+g(x)\big\} dx \Big|&= \Big|\int_a^4 \big\{ f(x)-f(x)-16\big\} dx \Big| \\ \\ &= \Big|\int_a^4 -16dx \Big| \\ \\ &= 16(4-a) \end{aligned}$

  $a$$a$의 값을 찾자. $f(x)$$f(x)$의 그래프를 보니, $f(x)=k(x+3{)}^{2}x-16$$f(x)=k(x+3)^2 x -16$의 극대값을 보면 된다.

  $f^{\prime }(x)=3k(x+3)(x+1)$$f'(x)=3k(x+3)(x+1)$

  $\therefore a=-1$$\therefore~ a=-1$

$\therefore 16\cdot 5=80$$\therefore~ 16\cdot 5=80$