2019년 07월 나형 21번

21. 좌표평면 위의 점 $(0,t)$$(0,~t)$를 지나고 곡선

$$y=x^3-a{x}^2+3x-5(a\text{는 자연수})$$

에 접하는 서로 다른 모든 직선의 개수를 $f(t)$$f(t)$라 할 때, 함수 $f(t)$$f(t)$에 대하여 합성함수 $g(t)=(f\circ f)(t)$$g(t)=(f\circ f)(t)$라 하자. 다음 조건을 만족시키는 $a$$a$의 최솟값을 $m$$m$이라 할 때, $m+g(m)$$m+g(m)$의 값을 구하시오.

(가) 모든 실수 $t$$t$에 대하여 $g(t)>1$$g(t)>1$

(나) 함수 $g(t)$$g(t)$의 치역의 원소의 개수는 $1$$1$이다.

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i. 생각

• 주어진 함수의 그래프를 생각해보자.

  $y^{\prime }=3x^2-2ax+3$$y'=3x^2 -2ax +3$

  $D/4=a^{-}9$$D/4=a^-9$

  $\therefore 0<a\le 3$$\therefore~ 0<a\le 3$인 경우와 $3<a$$3<a$인 경우로 나눌 수 있다.

  극값이 하나이거나 없을 때에는 조건 (가)를 만족시키지 않는다.

  

  $\therefore 3<a$$\therefore~ 3<a$

• $h(x)=x^3-a{x}^2+3x-5$$h(x)=x^3 -ax^2 +3x-5$ 위의 점 $(k,h(k))$$(k,~h(k))$에서의 접선이 $(0,t)$$(0,~t)$를 지나도록 만들자.

  $y=h^{\prime }(k)(x-k)+h(k)$$y=h'(k)(x-k)+h(k)$이고 $(0,t)$$(0,~t)$를 지나면,

  $t=-k{h}^{\prime }(k)+h(k)$$t=-kh'(k)+h(k)$

  아... $t$$t$와 $k$$k$에 대한 식으로 표현되어 있다...

  $y=h(k)-k{h}^{\prime }(k)$$y=h(k)-kh'(k)$와 $y=t$$y=t$의 교점의 개수가 곧 $f(t)$$f(t)$임을 알 수 있다.

  계산하면,

  $t=-2k^3+a{k}^2-5$$t=-2k^3 +ak^2 -5$

  $j(k)=-2k^3+a{k}^2-5$$j(k)=-2k^3 +ak^2 -5$라 하자.

• $y=j(k)$$y=j(k)$의 그래프를 그리고 $f(t)$$f(t)$를 구하자.

  $j^{\prime }(x)=-6k^2+2ak=-2k(3k-a)$$j'(x)=-6k^2 +2ak=-2k(3k-a)$

  극값은 $k=0,\frac{a}{3}$$k=0,~\cfrac a3$에서 발생한다.

  

  $\begin{array}{c}f(t)=\{\begin{array}{ll}1& (t<-5)\\ \\ 2& (t=-5)\\ \\ 3& (-5<t<-5+\frac{a^3}{27})\\ \\ 2& (t=-5+\frac{a^3}{27})\\ \\ 1& (-5+\frac{a^3}{27}<t)\end{array}\end{array}$$f(t)=\begin{cases}1&(t<-5)\\ \\ 2&(t=-5)\\ \\ 3 &(-5<t<-5+\cfrac {a^3}{27} )\\ \\ 2&(t=-5+\cfrac {a^3}{27})\\ \\ 1 &(-5+\cfrac {a^3}{27}<t) \end{cases}$

  

• $g(t)$$g(t)$를 계산하자!

  $\begin{array}{c}g(t)=\{\begin{array}{ll}f(1)& (t<-5)\\ \\ f(2)& (t=-5)\\ \\ f(3)& (-5<t<-5+\frac{a^3}{27})\\ \\ f(2)& (t=-5+\frac{a^3}{27})\\ \\ f(1)& (-5+\frac{a^3}{27})\end{array}\end{array}$$g(t)=\begin{cases} f(1)&(t<-5)\\ \\ f(2)&(t=-5)\\ \\ f(3)&(-5<t<-5+\cfrac {a^3}{27}) \\ \\ f(2)&(t=-5+\cfrac {a^3}{27}) \\ \\ f(1)&(-5+\cfrac {a^3}{27})\end{cases}$

  조건을 보면,

  $f(1)=f(2)=f(3)$$f(1)=f(2)=f(3)$이어야 하고, 이 값은 $3$$3$이어야 한다.

  그러면,

  $-5<3<-5+\frac{a^3}{27}$$-5<3<-5+\cfrac {a^3}{27}$을 만족해야 한다.

  이를 풀면,

  $2^3\cdot 3^3<a^3⟶6<a$$2^3 \cdot 3^3 <a^3 \quad \longrightarrow \quad 6<a$

  $\therefore a_{min}=7$$\therefore~ a_{\min}=7$

$\therefore m+g(m)=7+3=10$$\therefore~ m+g(m)=7+3=10$