2020학년도 09월 나형 21번

21. 함수 $f(x)=x^3+x^2+ax+b$$f(x)=x^3 +x^2 +ax+b$에 대하여 함수 $g(x)$$g(x)$를

$$g(x)=f(x)+(x-1)f^{\prime }(x)$$

라 하자. <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오. (단, $a,b$$a,~b$는 상수이다.)

ㄱ. 함수 $h(x)$$h(x)$가 $h(x)=(x-1)f(x)$$h(x)=(x-1)f(x)$이면 $h^{\prime }(x)=g(x)$$h'(x)=g(x)$이다.

ㄴ. 함수 $f(x)$$f(x)$가 $x=-1$$x=-1$에서 극값을 가지면 $\begin{array}{r}{\int }_0^{1}g(x)dx=-1\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^1 g(x)dx =-1\end{aligned}$이다.

ㄷ. $f(0)=0$$f(0)=0$이면 방정식 $g(x)=0$$g(x)=0$은 열린 구간 $(0,1)$$(0,~1)$에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

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i. ㄱ

$h^{\prime }(x)=f(x)+(x-1)f^{\prime }(x)=g(x)$$h'(x)=f(x)+(x-1)f'(x)=g(x)$

True

ii. ㄴ

• $f(-1)=0,f^{\prime }(-1)=0$$f(-1)=0,~f'(-1)=0$

  $f(-1)=-1+1-a+b=0$$f(-1)=-1+1-a+b=0$

  $\therefore a=b$$\therefore~ a=b$

  $f^{\prime }(x)=3x^2+2x+a$$f'(x)=3x^2 +2x+a$

  $f^{\prime }(-1)=3-2+a=0$$f'(-1)=3-2+a=0$

  $\therefore a=b=-1$$\therefore~ a=b=-1$

  $\therefore f(x)=x^3+x^2-x-1$$\therefore~ f(x)=x^3 +x^2 -x-1$

• $\begin{array}{rl}{\int }_0^{1}g(x)dx& ={\int }_0^1{h}^{\prime }(x)dx=[h(x){]}_0^1\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^1 g(x)dx &= \int_0^1 h'(x)dx =\big[h(x)\big]_0^1\end{aligned}$

  $\begin{array}{rl}{\int }_0^{1}g(x)dx& =h(1)-h(0)\\ \\ & =0+f(0)\\ \\ & =-1\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^1 g(x)dx &= h(1)-h(0)\\ \\ &= 0+f(0)\\ \\ &=-1\end{aligned}$

True

iii. ㄷ

• $f(0)=0⟶f(x)=x^3+x^2+ax$$f(0)=0\quad \longrightarrow\quad f(x)=x^3 +x^2 +ax$
• $g(0)=f(0)-f^{\prime }(0)=-a$$g(0)=f(0)-f'(0)=-a$
• $g(1)=f(1)=2+a$$g(1)=f(1)=2+a$

어? 애매한데?

주어진 보기를 활용해서 푸는 문제니까...

• $h(0)=-f(0)=0,h(1)=0$$h(0)=-f(0)=0,~h(1)=0$

오...이거군.

$y=h(x)$$y=h(x)$는 연속이고 미분가능이다. ($\because$$\because~$다항함수)

$h(0)=h(1)=0$$h(0)=h(1)=0$이면, 열린구간 $(0,1)$$(0,~1)$ 사이에 $h^{\prime }(c)=0$$h'(c)=0$이 되는 $c$$c$값이 적어도 하나 이상 존재한다.

$h^{\prime }(x)=g(x)$$h'(x)=g(x)$이므로 $g^{\prime }(c)=0$$g'(c)=0$이 되는 $c$$c$의 값이 적어도 하나 이상 존재한다.

True