2019년 10월 나형 21번

21. 최고차항의 계수가 $1$$1$인 삼차함수 $f(x)$$f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 $f(x)=0$$f(x)=0$의 실근은 $\alpha ,\beta (\alpha <\beta )$$\alpha,~\beta ~(\alpha <\beta)$뿐이다.

(나) 함수 $f(x)$$f(x)$의 극솟값은 $-4$$-4$이다.

<보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. $f^{\prime }(\alpha )=0$$f'(\alpha)=0$

ㄴ. $\beta =\alpha +3$$\beta =\alpha +3$

ㄷ. $f(0)=16$$f(0)=16$이면 ${\alpha }^2+{\beta }^2=18$$\alpha^2 +\beta ^2 =18$이다.

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i. 생각

• 조건에 맞게 그래프를 대충 그려보면,

  

• $f^{\prime }(\alpha )=0$$f'(\alpha )=0$

  ㄱ. True

• ㄴ

  • 극솟값이 $-4$$-4$인 조건을 활용하자.

    $f^{\prime }(x)=2(x-\alpha )(x-\beta )+(x-\alpha {)}^2$$f'(x)=2(x-\alpha )(x-\beta)+(x-\alpha )^2$

    $f^{\prime }(x)=(x-\alpha )(3x-(\alpha +2\beta ))$$f'(x)=(x-\alpha )(3x -(\alpha +2\beta))$

  • $f(\frac{\alpha +2\beta }{3})=-4$$f\big(\cfrac {\alpha +2\beta}3\big)=-4$

    식을 풀면,

    $(\alpha -\beta {)}^3=-27$$(\alpha -\beta)^3=-27$

    $\therefore \alpha -\beta =-3$$\therefore~ \alpha -\beta =-3$

    $\therefore \beta =\alpha +3$$\therefore~ \beta =\alpha +3$

  True

• ㄷ

  $f(0)={\alpha }^2\beta =-16$$f(0)=\alpha ^2 \beta =-16$

  ${\alpha }^2(\alpha +3)=-16$$\alpha ^2 (\alpha +3)=-16$

  ${\alpha }^3+3{\alpha }^2+16=0$$\alpha ^3 +3\alpha ^2 +16=0$

  $\alpha =-4⟶\beta =-1$$\alpha =-4\quad \longrightarrow \quad \beta =-1$

  $\therefore {\alpha }^2+{\beta }^2=17$$\therefore~ \alpha ^2 +\beta ^2 =17$

  False