2019학년도 11월 나형 30번

30. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$와 최고차항의 계수가 $-1$인 이차함수 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(0,~0)$에서의 접선과 곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $(2,~0)$에서의 접선은 모두 $x$축이다.

(나) 점 $(2,~0)$에서 곡선 $y=f(x)$에 그은 접선의 개수는 $2$이다.

(다) 방정식 $f(x)=g(x)$는 오직 하나의 실근을 가진다.

$x>0$인 모든 실수 $x$에 대하여

를 만족시키는 실수 $k$의 최댓값과 최솟값을 각각 $\alpha,~\beta$라 할 때, $\alpha -\beta =a+b\sqrt 2$이다. $a^2 +b^2$의 값을 구하시오. (단, $a,~b$는 유리수이다.)

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i. 정리

문제가 곧 조건이니 뭐...

ii. 생각

• $f(x)=x^2 (x-m),~g(x)=-(x-2)^2$

  당연히 음수 어딘가에서 근을 반드시 한개 가진다.

• 뭐 이젠 당연히 그려봐야겠네...

  

  접선 $3$개라서 탈락!

   

  

  뭐 역시 접선 $3$개

   

  그럼 남은 건?

  

  $f(x)=x^3$

• 이제 $y=kx-2$가 $y=f(x)$ 와 $y=g(x)$와 접할 때의 값을 찾도록 하자.

  • $y=g(x)$ 위의 점에서의 접선이 $(0,~-2)$를 지나는 $k$값을 구하자.

    $y=-2(a-2)(x-a)-(a-2)^2$이 $(0,~-2)$를 지난다.

    계산하면,

    $a=\pm \sqrt 2$

    그런데, $x>0$이니까, $a=\sqrt 2$

    $\therefore~ \beta =-2(\sqrt 2-2)$

  • $y=f(x)$ 위의 점에서의 접선이 $(0,~-2)$를 지나는 $k$값을 구하자.

    $y=3a^2 (x-a)+a^3$이 $(0,~-2)$를 지난다.

    계산하면,

    $a=1$

    $\therefore~ \alpha =3$

$\therefore~ \alpha -\beta =-1+2\sqrt 2$

$\therefore~ a^2 +b^2 =5$