2019학년도 11월 나형 21번

21. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)g(x)=x(x+3)$이다.

(나) $g(0)=1$

$f(1)$은 자연수일 때, $g(2)$의 최솟값을 구하시오.

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i. 정리

딱히 문제가 짧으니까..

ii. 생각

• 우선 $g(x)$를 알아봐야겠다?

$g(x)=\cfrac {x(x+3)}{f(x)}$

어? 유리함수? 그런데 연속이다?

• $g(0)=1$을 이용하자.

  어랏? $x=0$에서 연속이 되도록 만들어줘야 하는구나.

  $f(0)=0$이어야 한다.

  $\therefore~ f(x)=x(x^2 +ax+b)$

  $\begin{aligned} \lim\limits_{ x\to 0}g(x)&=\lim\limits_{ x\to 0}\cfrac {x(x+3)}{x(x^2 +ax+b)}\\ \\ &= \cfrac 3b =1\end{aligned}$

  $\therefore~ b=3$

  $f(x)=x(x^2 +ax+3)$

• $g(2)$를 생각하자.

  $g(2)=\cfrac 5{2a+7}$

  어랏? $a$의 범위를 알아야겠다.

• $a$의 범위를 구하자.

  • $f(1)$은 자연수

    $f(1)=a+4$

    $\therefore~ a\ge -3$인 정수

  • $x^2 +ax+3=0$의 근이 허근이어야 한다. $(\because~g(x)$는 연속함수$)$

    $D=a^2 -12<0$

    $-2\sqrt 3<a<2\sqrt 3$

  $a_{\max}=3$

$\therefore~ g(2)_{\max}=\cfrac 5{13}$