2019학년도 09월 나형 30번

30. 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 방정식

의 모든 실근이 $0,~1,~a,~2,~b$이다.

일 때, $f(5)$의 값을 구하시오. (단, $1<a<2<b$)

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i. 정리

뭐 딱히...

ii. 생각

• $\big(f\circ f\big)(x)=x$를 살펴보자.

  $f(k)=k$인 경우와 $\begin{cases} f(\alpha )=\beta\\ \\ f(\beta)=\alpha\end{cases}$일 때 가능할 것이다. (역함수가 존재한다는 말은 딱히 없으므로...)

  그런데, $f(x)$는 삼차함수이다. 즉, $f(k)=k$인 경우는 $3$개가 가능하다.

  그러면 $f(0)=0,~f(a)=a,~f(b)=b$이고, $f(1)=2,~f(2)=1$인 경우만 가능하다!

• 이를 토대로 그래프 개형을 대충 그리자.

  

  이거....깔끔할 거 같지가 않다...

  $f(x)$를 구하면,

  $f(x)-x=kx(x-a)(x-b)$이고

  $f(1)=2,~f(2)=1$을 대입해서 정리하자.....

  $\begin{cases} (1-a)(1-b)=\cfrac 1k\\ \\ (2-a)(2-b)=-\cfrac 1{2k}\end{cases}$

  아무래도 $a+b,~ab$를 최대한 활용해야 계산이 단순할 거 같다...

• $f'(0)-f'(1)=6$을 활용하자.

  $f'(x)=k(x-a)(x-b)+kx(x-a)+kx(x-b)$

  • $f'(1)=3k-2k(a+b)+kab+1$
  • $f'(0)=kab+1$

  $\begin{aligned} f'(0)-f'(1)&= -3k+2k(a+b)\\ \\ &=6\end{aligned}$

  $\therefore~ a+b=\cfrac 3k+\cfrac 32\quad (\because ~k>0)$

• 이제 연립하여 풀자....하...

  • $(1-a)(1-b)=1-(a+b)+ab=\cfrac 1k$
  • $(2-a)(2-b)=4-2(a+b)+ab=-\cfrac 1{2k}$

  식을 빼면,

  $-3+(a+b)=\cfrac 3{2k}$

  $\therefore~ (a+b)=\cfrac 3{2k}+3 =\cfrac 3k+\cfrac 32$

   

  $\therefore~ k=1$

  $\begin{cases} a+b=\cfrac 92\\ \\ ab=\cfrac 92\end{cases}$

$f(x)=x(x-a)(x-b)+x$이고,

$\begin{aligned} f(5)&=5(5-a)(5-b)+5\\ \\ &= 5(25-5(a+b)+ab)+5 \\ \\ &=5(25-\cfrac {45}2 +\cfrac 92)+5\\ \\ &=5(25-18)+5 \\ \\ &=35+5 \\ \\ &=40\end{aligned}$

$\therefore~ f(5)=40$