2018년 10월 나형 30번

30. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$와 실수 $t$가 다음 조건을 만족시킨다.

등식 $f(a)+1=f'(a)(a-t)$를 만족시키는 실수 $a$의 값이 $6$ 하나뿐이기 위한 필요충분조건은 $-2<t<k$이다.

$f(8)$의 값을 구하시오. (단, $k$는 $-2$보다 큰 상수이다.)

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i. 정리

문제가 짧아서 딱히...

ii. 생각

• 어째 식을 좀 변형하면 접선의 형태가 될 거 같다?

  $f(a)=f'(a)(a-t)-1$

  $\Rightarrow x$좌표가 $a$이고 기울기가 $f'(a)$인 직선이구나...라고 생각 할 수 있고,

  $(t,~-1)$을 지나고 직선의 기울기가 $f'(a)$인 직선의 방정식이 있는데, $x=a$에서 $f(a)$, 즉, $(a,~f(a))$를 지난다?

  뭐.....괜히 복잡한 게 아니라 단순하게 하면,

  $y=f'(a)(x-a)+f(a)$가 $(t,~-1)$을 지난다?

  $-1=f'(a)(t-a)+f(a)$

  $f(a)=f'(a)(a-t)-1$

  결국 $(a,~f(a))$에서의 접선이 $(t,~-1)$을 지난다!!!

• 그런데, $t$가 유일하지 않다???? 그리고 이를 만족하는 $a=6$이 유일하다? $-2<t<k$이고?

  뭐 우선 $t$가 유일하지 않기 위해서는,

  $f'(a)=0,~f(a)=-1$

  즉, $f'(6)=0,~f(6)=-1$

  $\therefore~ f(x)=(x-6)^2(x-m)-1$

• 이제 그래프로 확인해보자.

  • 당연히 $m\neq 6$일 것이다.

  • $m<6$일 때,

    

    • $A$의 영역($m<\alpha$)에 있을 때 조건 만족하지 않는다.
    • $B$의 영역($\alpha <m<6$)에 있을 때 , 오!!!!!!
    • $C$의 영역($6<m$)에 있을 때 조건을 만족하지 않는다.

    $\therefore~ \alpha=-2$

    $\therefore~ f(x)=(x+2)(x-6)^2 -1$

  • $m>6$일 때,

    

    $6<m<\beta$이면 되지만, 이는 조건에 위배된다.

$\therefore~ f(8)=10\cdot 4-1=39$