2018년 10월 나형 29번

29. 최고차항의 계수가 양수인 이차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 $t$에 대하여 $\begin{aligned} \int_0^t f(x)dx =\int_{2a-t}^{2a}f(x)dx\end{aligned}$이다.

(나) $\begin{aligned} \int_a^2f(x)dx =2,~\int_a^2|f(x)|dx =\cfrac {22}9\end{aligned}$

$f(k)=0$이고 $k<a$인 실수 $k$에 대하여 $\begin{aligned} \int_k^2 f(x)dx =\cfrac qp\end{aligned}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $a$는 상수이고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 정리

뭐 딱히...

ii. 생각

• $f(x)$는 축 대칭인 성질을 이용하여 조건 가를 생각해보자.

  

  

  뭐 대충 경우를 다 따져보진 않았지만, $y=f(x)$의 대칭축은 $x=a$임을 알 수 있다.

  $f(x)=m(x-a)^2 +n$이라 하자.

• 조건 (나)를 보니 $y=f(x)$는 $x$축과 두 점에서 만난다.

  

  로 그릴 수 있다. $\alpha,~\beta$는 각 부분의 넓이를 나타낸다.

  그러면, 조건 (나)는

  • $\begin{aligned} \int_a^2 f(x)dx &= -\alpha+\beta=2\end{aligned}$
  • $\begin{aligned} \int_a^2 |f(x)|dx &=\alpha +\beta=\cfrac {22}9 \end{aligned}$

  이고, $\begin{aligned} \int_k^2f(x)dx =-2\alpha +\beta\end{aligned}$을 구하면 된다.

  연립 방정식을 풀면, $\begin{cases} \alpha =\cfrac 29 \\ \\ \beta=\cfrac {20}9\end{cases}$

$\therefore~ \begin{aligned} \int_k^2 f(x)dx=\cfrac {16}9\end{aligned} \quad \longrightarrow \quad p+q=25$