2018년 07월 나형 30번

30. 함수 $f(x)=x^3 -12x$와 실수 $t$에 대하여 점 $\big(a,~f(a)\big)$을 지나고 기울기가 $t$인 직선이 함수 $y=|f(x)|$의 그래프와 만나는 점의 개수를 $g(t)$라 하자. 함수 $g(t)$가 다음 조건을 만족시킨다.

함수 $g(t)$가 $t=k$에서 불연속이 되는 $k$의 값 중에서 가장 작은 값은 $0$이다.

$\sum\limits_{ n=1}^{30}g(n)$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $f(x)=x^3 -12x$
• $\begin{cases} \big(a,~f(a)\big),~\text{기울기 : }t\in\mathbb R\\ \\\ y=|f(x)|\end{cases} \quad \longrightarrow \quad$교점의 개수 $g(t)$
• $y=g(t)$는 $t=k$에서 불연속이고 $t_{\min}=0$

ii. 생각

• 가장 중요한 건 역시 $y=|f(x)|$의 그래프를 그려봐야 하겠네.

  

  기울기가 $0$일 때 불연속이 되는 상황은 $x$축과의 교점이거나 혹은 극댓값인 $y=16$인 점과의 교점이다.

  그런데, $x$ 축과의 교점인 경우는 조건을 만족시킬 수 없다.

  그럼 가능한 점은 $A,~B,~C,~D$ 중의 하나일 것이다!!

  그런데, 조건을 보면, $D$일 떼에만 조건을 만족시킨다. ($t_{\min}=0$)

   

  $f(x)=16\quad \longrightarrow \quad x=-2,~4$

  $\therefore~ a=4$

• 이제 대충 불연속인 기울기를 그리고, 함수 $g(t)$를 구하자.

  

  그리고 $f'(4)=36$임을 빼놓지 말자. (접선의 기울기보다 커질 때 또 불연속이 발생할 테니까.)

  $g(x)=\begin{cases}2&(t<0)\\ \\4 &(t=0)\\ \\ 6&(0<t<t_1) \\ \\ 5&(t=t_1)\\ \\ 4&(t_1<t<t_2)\\ \\ 3&(t=t_2)\\ \\ 2&(t_2<t<t_3)\\ \\ 2&(t=t_3) \end{cases} \quad\quad$ 그리고, $t=36$일 때를 잘 생각해야겠다.어? $t_3$는 의미가 없다!

  추가로 $t=36$일 때, $g(36)=1$이고, $t>36$이면 $g(t)=2$

• $t_1$의 값은?

  $t_1=\cfrac{16}{4+2\sqrt 3}=\cfrac {16(4-2\sqrt 3)}{4}=8(2-\sqrt 3)$

  아오....

  이거 문제가 좀 치사한데? $\sqrt 3\fallingdotseq 1.7$이라고 줘야하는 거 아니야? $e=2.7\cdots$임에도 항상 $2<e<3$이라고 문제에서 주는구먼..

  $1.7<\sqrt 3<2$로 두고 범위를 구하자.

  $\vdots$

  $2.4<8(2-\sqrt 3)<8$

• $t_2$의 값은

  $t_2=\cfrac {16}{4}=4$

이제 계산하자.

$t=1,~2\quad \longrightarrow \quad g(t)=6$

$t=3\quad\longrightarrow \quad g(3)=4$

$t=4\quad \longrightarrow \quad g(4)=3$

$t=5,~6,~\cdots, 35\quad \longrightarrow \quad g(t)=2$

$t=36\quad \longrightarrow \quad g(36)=1$

$\therefore~ \sum\limits_{ n=1}^{36}g(t)=6\cdot 2 +4+3+ 2\cdot 31 +1=82$

최소한 $1.73<\sqrt 3<2$ 라는 조건은 주는 게 좋았을 거 같은데...