2019학년도 06월 나형 30번

30. 사차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $5$ 이하의 모든 자연수 $n$에 대하여 $\sum\limits_{ k=1}^n f(k)=f(n)f(n+1)$이다.

(나) $n,~3,~4$일 때, 함수 $f(x)$에서 $x$의 값이 $n$에서 $n+2$까지 변할 때의 평균변화율은 양수가 아니다.

$128\times f\Big(\cfrac 52\Big)$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $f(x)=ax^4+\sim$
• $\sum\limits_{ k=1}^n f(k)=f(n)f(n+1)\quad (n=1,~2,~\cdots,~5)$
• $n=3,~4\quad \longrightarrow \quad$닫힌구간 $\big[n,~n+2\big]$까지의 평균변화율$\le 0$

ii. 생각

• 우선 $n$에 수를 대입한 후 생각해보자.

  $\begin{aligned}f(1)&=f(1)f(2)&\cdots \quad 1\\ \\ f(1)+f(2)&=f(2)f(3)&\cdots \quad 2\\ \\ f(1)+f(2)+f(3)&=f(3)f(4)&\cdots \quad 3\\ \\ f(1)+f(2)+f(3)+f(4)&=f(4)f(5)&\cdots \quad 4\\ \\ f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)&=f(5)f(6) &\cdots \quad 5 \end{aligned}$

• $f(1)=0$이면?

  $f(1)\begin{cases} =0\\ \\ \neq 0 \end{cases} \quad$로 나뉘고 그 다음 단계도 또 나뉘고...이건 좀 아닌 듯...

• 거꾸로 생각해볼까?

  $5$번과 $4$번 식을 빼보자.

  $f(5)=f(5)\big(f(6)-f(4)\big)\quad \Leftarrow\quad$어? $f(6)-f(4)\le 0$을 이용해볼 수 있네? 나머지도 이렇게 정리해보자.

  $f(4)=f(4)\big(f(5)-f(3)\big)\quad \Leftarrow\quad f(5)-f(3)\le 0$

  $f(3)=f(3)\big(f(4)-f(2)\big)$

  $f(2)=f(2)\big(f(3)-f(1)\big)$

• 이제 경우를 나누는 경우 밖에 없다....총 $4$가지

  $\begin{cases} f(5)-f(3)=0&\begin{cases} f(6)-f(4)=0\\ \\ f(6)-f(4)<0\end{cases} \\ \\ f(5)-f(3)<0&\begin{cases} f(6)-f(4)=0\\ \\ f(6)-f(4)<0\end{cases}\end{cases}$

  혹시 제거할 경우의 수가 있을까? 안 보이네...

iii. $f(5)=f(3),~f(6)=f(4)$일 때,

• $f(4)=f(4)\big(f(5)-f(3)\big)\quad \longrightarrow \quad f(4)=0\quad \Rightarrow \quad f(6)=0$

• $f(5)=f(5)\big(f(6)-f(4)\big)\quad\longrightarrow \quad f(5)=0=f(3)$

• $f(2)=-f(1)f(2)$

$f(x)=0$의 근은 $x=3,~4,~5,~6$에서 이미 사차함수가 만들어 졌고.

$f(1)$과 $f(2)$는 $0$이 될 수 없다. 그런데, 서로 부호가 반대이므로 $1<x<2$ 사이에 $f(x)=0$을 만족하는 $x$값이 존재해야한다.

그러면? 오차함수가 되므로 조건에 위배!

iv. $f(5)=f(3),~f(6)<f(4)$

• $f(5)\big(f(6)-f(4)\big)=f(5)\quad \longrightarrow \quad f(5)=f(3)=0$

• $f(4)=f(4)\big(f(5)-f(3)\big)\quad \longrightarrow \quad f(4)=0\quad \Rightarrow\quad f(6)<0$

• $f(2)\big(f(3)-f(1)\big)=f(2)\quad \longrightarrow \quad -f(2)f(1)=f(2)$

• $f(2)=0$이면 $f(2)f(3)=f(1)+f(2)\quad \longrightarrow \quad 0=f(1)$

  $x=1,~2,~3,~4,~5$에서 근을 가져야 하므로 조건에 위배

• $f(2)\neq 0$이면 $f(1)=-1\quad \longrightarrow \quad f(2)=1$

오 이건 된다.

$f(x)=a(x-k)(x-3)(x-4)(x-5)$라 하면,

$\begin{cases} f(1)=-1\\ \\ f(2)=1 \end{cases} \quad \longrightarrow a=-\cfrac 5{24},~k=\cfrac 65$

$f(x)=-\cfrac 5{24}(x-\cfrac 65)(x-3)(x-4)(x-5)$

$\therefore~ 128\times f\Big(\cfrac 52\Big) =65$

실제 시험이라면 여기서 종료겠지만.....나머지 경우도 해봐야지....

v. $f(5)<f(3),~f(6)=f(4)$

• $f(5)\big(f(6)-f(4)\big)=f(5)\quad \longrightarrow \quad f(5)=0\quad \longrightarrow \quad 0<f(3)$

• $f(4)\big(f(5)-f(3)\big)=f(4)\quad\longrightarrow \quad f(4)=0=f(6)$

• $f(3)\big(f(4)-f(2)\big)=f(3)\quad \longrightarrow \quad f(4)-f(2)=1$

  $f(2)=-1$

• $f(1)f(2)=f(1)\quad \longrightarrow \quad f(1)=0$

• $f(2)\big(f(3)-f(1)\big)=f(2)\quad \longrightarrow \quad f(3)-f(1)=1\quad \longrightarrow \quad f(3)=1$

$x=1,~4,~5,~6$에서 $f(x)=0$이고, $f(2)=-1,~f(3)=1$

그런데, $2<x<3$에서 또 새로운 근이 하나 발생해야만한다.

$\therefore~$조건에 위배

vi. $f(5)<f(3),~f(6)<f(4)$

• $f(5)\big(f(6)-f(4)\big)=f(5)\quad \longrightarrow \quad f(5)=0,~0<f(3)$
• $f(4)\big(f(5)-f(3)\big)=f(4)\quad \longrightarrow \quad f(4)=0,~f(6)<0$
• $f(3)\big(f(4)-f(2)\big)=f(3)\quad \longrightarrow \quad f(4)-f(2)=1\quad \longrightarrow \quad f(2)=-1$
• $f(1)f(2)=f(1)\quad \longrightarrow \quad f(1)=0$

$x=1,~4,~5$에서 $f(x)=0$이고, $f(2)=-1$, $f(3)>0$

그런데, $2<x<3$에서 근이 하나 , $x=4$에서 중근이 되지 않으면 조건을 만족시킬 수 없다.

그런데 중근이면 이미 오차함수이므로 조건에 위배.