2018년 04월 나형 30번

30. 두 실수 $a,~b$에 대하여 정의역이 $\big\{x|x\ge 0\big\}$인 함수

이 있다. 실수 $k$에 대하여 정의역이 $\big\{x|x\ge 0\big\}$인 함수

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\lim\limits_{ x\to \infty} |g(x)|=\cfrac 12$

(나) $|g(0)|=1$

(다) 함수 $y=|g(x)|$의 그래프와 직선 $y=-k$는 두 점 $\Big(\cfrac 1{28},~-k\Big),~(\alpha,~-k)$에서만 만난다. (단, $\alpha>\cfrac 1{28}$)

직선 $y=m(x-4\alpha )+\cfrac 34$이 함수 $y=|g(x)|$의 그래프와 만나는 서로 다른 점의 개수를 $h(m)$이라 할 때, 함수 $h(m)$이 불연속이 되는 모든 실수 $m$의 값의 합은 $M$이다. $252M$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $f(x)=\cfrac 1{ax+b} -1\quad (ab>0)$

  점근선 : $\begin{cases} x=-\cfrac ba \\ \\ y=-1\end{cases}$

• $g(x)=\begin{cases} 2k-f(x) & (f(x)<k)\\ \\ f(x)&(f(x)\ge k)\end{cases}$

• $\lim\limits_{ x\to \infty}|g(x)|=\cfrac 12,~|g(0)|=1$

• $\begin{cases} y=|g(x)| \\ \\ y=-k\end{cases} \quad \longrightarrow \quad \Big(\cfrac 1{28} ,~-k\Big),~(\alpha,~-k)$

ii. 생각

• 조건 (다)에서 $k\le 0$이다! ($\because ~y=|g(x)|\ge 0$

• $y=2k-f(x)$는 어떤 그래프일까?

  $x=\alpha$에서 $f(\alpha )=k$라고 하면, $2k-f(\alpha )=k$

  오호라.

  $y=f(x)$의 그래프를 $x$ 축에 대칭시키고 $y$축으로 $2k$ 만큼 이동시킨다.

  결국 $f(x)=k$인 점에서부터 $y=k$에 대해 대칭이동시킨 함수이다.

• 이제 $y=f(x)$의 그래프 개형을 생각해보자.

  • $a>0$일 때, $b>0$이고

    

    이제 $\lim\limits_{ x\to \infty} |g(x)|=\cfrac 12$을 만족하는 $k$의 값을 찾도록 하자.

    $\begin{aligned} \lim\limits_{ x\to \infty} |g(x)|&= \lim\limits_{ x\to \infty} |2k-f(x)| \\ \\ &= |2k+1| \\ \\ &=\cfrac 12\end{aligned} \quad \longrightarrow \quad k=-\cfrac 14,~-\cfrac 34$

    • $k=-\cfrac 14$일 때를 살펴보자.

      

      $y=|g(x)|$ 와 $y=-k$가 두 점에서 만나는 경우가 아니다.

    • $k=-\cfrac 34$일 때를 살펴보자.

      

      오! 드디어 조건에 딱 맞아 떨어진다.

  • $a<0$일 때에는?

    그려보면 알겠지만, 조건을 만족시킬 수 없다!

iii. 계산

• $|g(0)|=g(0)=f(0)=1$

  $f(0)=\cfrac 1b -1 =1 \quad \longrightarrow \quad b=\cfrac 12$

• $f\Big(\cfrac 1{28}\Big)=\cfrac 34$를 이용하면, $a=2$

$\therefore~ f(x)=\cfrac 1{2x+\frac 12 } -1$

• $f(\alpha )=-\cfrac 34$를 구하면, $\alpha =\cfrac 74$

$\therefore~ y=m(x-7)+\cfrac 34$

위의 그래프에 대충 겹쳐서 그리자.

$y=h(m)$이 불연속일 때에는 $m_1,~m=0,~m_2$일 때이다.

• $m_1$은 $(0,1),~(7,~\cfrac 34)$의 기울기

  $m_1=-\cfrac 1{28}$

• $m_2$는 $f(x)=0$일 때의 교점과 $(7,~\cfrac 34)$의 기울기

  $f(x)=0\quad \longrightarrow \quad x=\cfrac 14$

  $m_2=\cfrac 19$

$\therefore~ 252M=252\times (-\cfrac 1{28}+\cfrac 19) =19$