2018학년도 11월 나형 29번

29. 두 실수 $a$와 $k$에 대하여 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$는

이고, 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $f(x)$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

(나) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)\ge g(x)$이다.

$k$의 최솟값이 $\cfrac qp$일 때, $a+p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 정리

뭐 딱히 정리하기에는 정리가 잘 되어 있다!!

ii. 생각

• $y=f(x)$는 미분가능하다?

  $x=a$에서 극값을 가져야만 실수 전체에서 미분가능일 것이다.

  $\therefore~a=1$

• $f(x)\ge g(x)$를 생각하면 접할 때가 $k$의 최솟값일 것이다.

  

  

  

  $y=f(x)$의 접선의 기울기가 $12$인 $x$ 좌표를 구하면,

  $f'(x)=12\quad\longrightarrow\quad x=2$

  이 때, 직선의 방정식은

  $y=12(x-2)+f(2)=12x-19$

  $g(x)$의 형태에 맞게 고쳐쓰면,

  $y=12\big(x-\cfrac{19}{12}\big)$

  $\therefore~q=19,~p=12$

$\therefore~a+p+q=32$