2018학년도 09월 나형 30번

30. 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$가

이다. 양의 실수 $k,~a,~b~(a<b<2)$에 대하여, 함수 $h(x)$를

라 정의하자. 모든 실수 $x$에 대하여 $0\le h(x)\le g(x)$일 때, $\begin{aligned} \int_0^2 \big\{g(x)-h(x)\big\}dx\end{aligned}$의 값이 최소가 되게 하는 $k,~a,~b$에 대하여 $60(k+a+b)$의 값을 구하시오.

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i. 정리

뭐 딱히...

ii. 생각

• $h(x)$가 어떻게 되는 지를 알아야만 문제를 해결할 수 있을 것 같다.

  • $0\le x<a\quad \longrightarrow\quad h(x)=kf(x)$
  • $a\le x<b\quad \longrightarrow\quad h(x)=k\big\{f(x)-f(x-a)\big\}$
  • $b\le x<2\quad \longrightarrow\quad h(x)=k\big\{ f(x)-f(x-a)-f(x-b)\big\}$

  이제 대입해서 정리하자.

  $h(x)=\begin{cases} kf(x) &(0\le x<a)\\ \\ ak&(a\le x<b)\\ \\ k(-x+a+b)&(b\le x<2)\end{cases}$

  어..왠지 모르지만...느낌이...?

  이럴 때는 그려봐야지.

  

$h(x)$의 그래프가 $g(x)$에 내접하면 되겠다?

• $\cfrac {a+b}2 =1\quad \longrightarrow\quad a+b=2$
• 내접한 사다리꼴의 넓이를 $S$라 하면,

$\begin{aligned} S&=\cfrac 12 (2+(b-a))\times ka \\ \\ &= \cfrac 12 (2+(2-a-a))ka \\ \\ &= \cfrac 12 (4-2a)ka \\ &= (2-a)ka\end{aligned}$

그런데, 내접해야하므로 $ka=a(2-a)$

$\therefore~S=a(2-a)^2\quad (0<a<1)$

$S$의 최댓값을 구하자.

$S'=(2-a)(2-3a)$

$\therefore~a=\cfrac 23\quad \longrightarrow\quad b=\cfrac 43\quad \longrightarrow k=2-a=\cfrac 43$

$\therefore~60(k+a+b)=200$