2018학년도 09월 나형 29번

29. 두 삼차함수 $f(x)$와 $g(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여

을 만족시킨다. $g(x)$의 최고차항의 계수가 $3$이고, $g(x)$가 $x=2$에서 극댓값을 가질 때, $f'(0)=\cfrac qp$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 정리

• $g(x)=3x^3 +\sim$이고 $x=2$에서 극대
• $f(x)=\cfrac 13 x^3 +\sim$
• $f(x)g(x)=(x-1)^2(x-2)^2(x-3)^2$

ii. 생각

• $y=g(x)$가 $x=2$에서 극대를 가진다? 그래프로 그려보면 당연히

  $g(x)=3(x-2)^2 (x-3)$이다.

  뭐지...? 이게 왜 $29$번인거야???

$\therefore~ f(x)=\cfrac 13 (x-1)^2 (x-3)$

$f'(x)=\cfrac 23(x-1)(x-3)+\cfrac 13 (x-1)^2$

$\therefore~f'(0)=\cfrac 73$

$\therefore~p+q=10$