2018학년도 09월 나형 21번

21. 실수 $a,~b,~c$​와 두 함수

에 대하여, 합성함수 $g\circ f$는 실수 전체의 집합에서 정의된 역함수를 갖는다. $a+b+2c$의 값을 구하시오.

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i. 정리

뭐 딱히 정리할 건 없어 보인다.

ii. 생각

$h(x)=g\circ f(x)$라 하자.

합성함수의 정의에 따라 접근하자. $f$의 증감을 잘 기억하자.

$\begin{matrix} 1.&-\infty \to -1 & \rightarrow f~ \rightarrow&-\infty \to a-1~(\nearrow)&\rightarrow ~g\\ \\ 2.&-1\to1 &\rightarrow~f~\rightarrow&-b\to b~(?)&\rightarrow~g \\ \\ 3.&1\to \infty &\rightarrow~f~\rightarrow&1+c~\to \infty(\nearrow)&\rightarrow~g\end{matrix}$

1. 을 살펴보면 $(-\infty,~-1)$구간에서 $h(x)$는 감소 그리고 $a-1\le -1$이어야 한다. ($\because~h(x)$의 증감의 변화가 없어야 한다.)
2. 를 살펴보면 $(-1,~1)$ 구간에서 역함수가 정의되기 위해서는 $f$는 감소해야 한다.($\because~g(x)$가 이 구간에서 증가해야한다.) 즉, $b<0$이고, 좀 더 들어가면 $-1<b<0$임을 알 수 있다.
3. 1.과 같은 경우로 $h(x)$는 감소하며 $1+c \ge 1$이어야 한다. (마찬가지 이유)

나중에 합성함수 글을 다시 써야겠다... 왜 지웠지..???

아무튼 딱히 $a,~b,~c$가 정해지는 형태는 아닌 거 같은데?

아무튼 위의 조건을 만족시키면서 당연히 연속이어야 할 것이다?

iii. 생각2

• $-1\le \lim\limits_{x\to -1-}h(x)=\lim\limits_{x\to -1 +} h(x)\le 1$

  $g(a-1)=g(-1)$

  $\Rightarrow\quad a-b=-1$

• $\lim\limits_{x\to 1-}h(x)=\lim\limits_{x\to 1+}h(x)$

  $g(b)=g(1+c)$

  $\Rightarrow\quad b+c=1$

어랏? 못 구잖아???

$\begin{cases} a=b-1\\ c=1-b\end{cases}$

이건가?

$\begin{aligned} a+b+2c&= (b-1)+b+2(1-b)\\ \\ &= 1\end{aligned}$