2017년 07월 나형 21번

21. 실수 $t$에 대하여 $x$에 대한 사차방정식

의 서로 다른 실근의 개수를 $f(t)$라 하자. 다항함수 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\lim\limits_{x\to\infty} \cfrac{g(x)}{x^4} =0$

(나) $g(-3)=6$

함수 $f(t)g(t)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, $g(1)$의 값을 구하시오.

---

i. 정리

• $(x-1)\big\{x^2 (x-3)-t\big\} =0$의 서로 다른 실근의 개수 $\Rightarrow\quad f(x)$
• $\lim\limits_{x\to\infty} \cfrac{g(x)}{x^4}=0$
• $g(-3)=6$

ii. 생각

• $f(t)$에 대해 알아보자.

  당연히 $x=1$에 주의하면서, $h(x)=x^2(x-3)$이라 하고 $h(x)=t$를 가지고 생각하면 되겠다?

  우선 극값이 필요하니 계산을 하자.

  $h'(x)=3x(x-2)$

  

  $f(t)$를 구할 수도 있지만, 어차피 $g(x)$는 연속함수일 것이고 $f(t)$에서 불연속점이 필요할 뿐이다.

  $y=f(t)$는 $t=0,~f(1),~f(-2)$ 헐..... 그림에서 $f(1)\rightarrow h(1),~f(2)\rightarrow h(2)$이다....

  아무튼 $h(1)=-2,~h(2)=-4$

  $\therefore~t=0,~-2,~-4$에서 불연속이다.

• $g(x)$에 대해 살펴보자.

  • 조건 (가)에서 $g(x)$는 $3$차함수

  • $f(t)g(t)$가 연속이기 위해서는 $t=0,~-2,~-4$일 때, $g(t)$의 값이 $0$이면 된다.

    $\therefore~g(t)=ax(x+2)(x+4)\quad$(단, $a\in\mathbb R$)

  • $g(-3)=6$을 만족하는 $a$값을 찾자.

    $g(-3)=3a=6\quad \longrightarrow\quad a=2$

    $\therefore~g(x)=2x(x+2)(x+4)$

$\therefore~g(1)=30$