2018학년도 09월 나형 20번

20. 삼차함수 $f(x)$와 실수 $t$에 대하여 곡선 $y=f(x)$와 직선 $y=-x+t$의 교점의 개수를 $g(t)$라 하자. <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. $f(x)=x^3$이면 함수 $g(t)$는 상수함수이다.

ㄴ. 삼차함수 $f(x)$에 대하여, $g(1)=2$이면 $g(t)=3$인 $t$가 존재한다.

ㄷ. 함수 $g(t)$가 상수함수이면, 삼차함수 $f(x)$의 극값은 존재하지 않는다.

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i. 정리

• 딱히 정리가 필요할 것 같진 않다.

ii. ㄱ

$f'(x)=3x^2\ge 0$ 이므로 기울기가 $-1$인 직선과는 오직 한 점에서만 만날 것이다.

물론 그래프를 그려보면 더 확실할 껄?

True

iii. ㄴ

• $g(1)=2\quad \longrightarrow\quad y=-x+1$과 $y=f(x)$의 교점의 개수가 $2$

이를 만족하는 그래프를 대충 그려보자.

접선의 기울기가 $-1$인 두 접선 사이에 $y=-x+t$가 존재하면 $g(t)=3$임을 알 수 있다.

$\therefore~$True

iv. ㄷ

우선 ㄱ을 살펴보면 극값은 존재할 것 같지 않지만...

미적분을 선택한 학생이라면 바로 변곡점을 알아낼 것이고...

그럼 바로 False임을 안다.

v. 미적분 선택이 아닌 경우

참$\cdot$거짓 문제는 당연히 보기를 활용하는 문제임을 알 것이다.

ㄱ : 음...의미가 없어보여. 이미 극값은 존재하지 않으니까.

ㄴ : 접선의 기울기가 $-1$인 두 접선 사이에...어? 접선의 기울기가 $-1$ 하나만 가능하다면???

이 경우가 존재할 수 이 있는 지 살펴보자.

그냥 간단한 예로, $f'(x)=x^2 -1$을 생각해볼까?

$f'(x)$의 최솟값은 $x=0$일 때, $-1$이다.

하지만, $f'(x)=x^2 -1$을 기반으로 $y=f(x)$의 개형을 그리면? 극대값과 극소값이 존재한다.

$\therefore~$False