2018학년도 6월 나형 30번

30. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$와 최고차항의 계수가 $2$인 이차함수 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(\alpha)=g(\alpha)$이고 $f'(\alpha)=g'(\alpha)=-16$인 실수 $\alpha$가 존재한다.

(나) $f'(\beta)=g'(\beta)=16$인 실수 $\beta$가 존재한다.

$g(\beta+1)-f(\beta+1)$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $f(x)=x^3 +\sim$
• $g(x)=2x^2 +\sim$
• $\begin{cases} f(\alpha )=g(\beta)\\ \\ f'(\alpha )=g'(\alpha)=-16\\ \\ f'(\beta)=g'(\beta)=16\end{cases}$

ii. 생각

• $h(x)=f(x)-g(x)$라고 막 만들고 싶지 않은가? 이렇게 하면 $0$을 꽤 많이 뽑아낼 수 있잖아?

  $h(\alpha )=0,~h'(\alpha)=0,~h'(\beta)=0$이라 표현할 수 있고 이를 이용하면?

  $h(x)=(x-\alpha)^2 (x-\gamma)$라 할 수 있다. (단, $\gamma\in\mathbb R$)

  그럼 자연스럽게 $\gamma$와 $\beta$의 관계식을 뽑아야겠다?

• $h'(x)$를 이용해 $\gamma$와 $\beta$의 관계식을 알아내자.

  $h'(x)=3(x-\alpha )\big(x-\cfrac {2\gamma+\alpha }3\big)$

  $\therefore~\gamma =\cfrac {3\beta-\alpha }2$

• 이제 사용하지 않은 조건을 살펴보자.

  • $\begin{cases} f'(\alpha )=g'(\alpha )=-16 \\ \\ f'(\beta)=g'(\beta)=16\end{cases}$

  $f'(x)$는 $2$차식이고, $g'(x)$는 $1$차식이다. 어?

  어?

  $g'(x)=4x+k$의 형태일 것이고, $g'(\alpha)=-16,~g'(\beta)=16$

  직선이니까 당연히 $g\Big(\cfrac{\alpha +\beta}2\Big)=0$

  흠...어? $\begin{cases} g\big(\cfrac{\alpha +\beta}2 -4\big)=-16\\ \\ g\big(\cfrac{\alpha +\beta}2+4\big)=16\end{cases}$ 일 것이다. 직선의 기울기는 $4$이니까.

  $\therefore~\beta -\alpha =8$

• 방금 구한 관계식을 활용해서 $\gamma$를 잘 장난질하면 뭔가 될 거 같다?

  $\begin{aligned} \gamma &= \cfrac {2\beta +\beta -\alpha }2 \\ &=\beta +4\end{aligned}$

$\therefore~h(x)=(x-\alpha )^2 (x-\beta -4)$

$\begin{aligned} h(\beta+1)&= (\beta +1-\alpha )^2 (\beta+1-\beta-4)\\ \\ &= 81\cdot (-3) \\ \\ &=-243 \end{aligned}$

$g(\beta +1)-f(\beta +1)=-h(\beta+1)=243$

$\therefore~243$