2017년 10월 나형 30번

30. 함수 $f(x)=|3x-9|$에 대하여 함수 $g(x)$는

이다. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $h(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, 모든 $h(k)$의 값의 합을 구하시오. (단, $k>0$)

(가) 함수 $g(x)h(x)$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

(나) $h'(3)=15$

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i. 정리

• $f(x)=3|x-3|$
• $g(x)=\begin{cases} \cfrac 32 f(x+k)&(x<0)\\ \\ f(x)&(x\ge 0)\end{cases}$
• $h(x)=x^3 +\sim$
• $g(x)h(x)$는 미분가능
• $h'(3)=15$

ii. 생각

• $j(x)=g(x)h(x)$라 하자.

  $j'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)$

  $\Rightarrow\quad g(x)\rightarrow$미분불가$\rightarrow h(x)=0$

  $\Rightarrow\quad g(x)\rightarrow$불연속$\rightarrow h'(x)=0,~h(x)=0$

• $g(x)$의 개형을 생각해보자.

  $x=0$에서 연속일 때와 불연속일 경우로 나뉘겠다....

iii. $y=g(x)$가 $x=0$에서 연속일 때,

$\lim\limits_{x\to 0-}g(x)=f(0)$

$\cfrac 32 f(k)=9\quad \Longrightarrow\quad f(k)=6$

이를 풀면,

$k=1,~5$

• $k=1$일 때,

  $\cfrac 32 f(x+1)=\cfrac 92 |x-2|$

  $y=g(x)$의 그래프를 그려보면,

  

  $x=0,~3$에서 미분불가이다.

  $\therefore~h(0)=h(3)=0$

  $h(x)=x(x-3)(x-\alpha)$로 볼 수 있고,

  $h'(x)=(x-3)(x-\alpha )+x(x-\alpha)+x(x-3)$

  $h'(3)=3(3-\alpha )=15\quad \alpha =-2$

  $\therefore~h(x)=x(x-3)(x+2)$

  $h(1)=-6$

• $k=5$일 때,

• $y=g(x)$의 그래프를 그려보면,

  

  $x=-2,~0,~3$에서 미분불가

  $\therefore~h(x)=(x+2)x(x-3)$

  $h'(x)=x(x-3)+(x+2)(x-3)+x(x+2)\quad\longrightarrow\quad h'(3)=15$

  $\therefore~h(5)=70$

iv. $y=g(x)$가 $x=0$에서 불연속일 때,

대충 두 경우로 나뉠 것이다.

$x=0$에서 불연속$\quad \longrightarrow\quad h(0)=h'(0)=0$

$x=3$에서 미분불가$\quad \longrightarrow\quad h(3)=0$

$\therefore~h(x)=x^2(x-3)$

$h'(x)=2x(x-3)+x^2 \quad \longrightarrow\quad h'(3)=9$

조건에 위배

은근 기네....

$x=\alpha ,~0,~3$에서 미분불가$\quad \longrightarrow\quad h(\alpha )=h(0)=h(3)=0$

$x=0$에서 불연속$\quad \longrightarrow\quad h(0)=h'(0)=0$

$\alpha\neq 0~\&~3$이므로 이 조건을 만족하는 $h(x)$는 존재하지 않는다.

v. 계산

$\therefore~-6+70=64$