2018학년도 11월 나형 20번

20. 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f'(0)=0,~f'(2)=16$

(나) 어떤 양수 $k$에 대하여 두 열린 구간 $(-\infty,~0),~(0,~k)$에서 $f'(x)<0$이다.

<보기>에서 옳은 것만을 모두 고르시오.

ㄱ. 방정식 $f'(x)=0$은 열린 구간 $(0,~2)$에서 한 개의 실근을 갖는다.

ㄴ. 함수 $f(x)$는 극댓값을 갖는다.

ㄷ. $f(0)=0$이면, 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)\ge -\cfrac 13$이다.

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i. 정리

• $f(x)=x^4+\sim$

  $f'(0)=0,~f'(2)=16$

  $(-\infty,~0),~(0,~k)$에서 $f'(x)<0$

ii. 생각

• 주어진 조건으로 그래프 개형을 대충 그려보자.

  

  $y=f'(x)$는 삼차함수이고, $k<2$임을 알 수 있다. ($\because~f'(2)=16$)

  어랏?

  $f'(x)=4x^2(x-k)$이다.

  이를 토대로 또 대충 $y=f(x)$의 그래프 개형을 그려보면,

  

   

iii. 보기

• ㄱ. True

• ㄴ. False

• ㄷ

  $\begin{aligned} f'(2)&=4\cdot 2^2(2-k)\\ &=16 \end{aligned} \quad \longrightarrow k=1$

  $f(x)=x^4-\cfrac 43x^3$

  그리고 극소값은 $x=1$일 때, $f(1)=-\cfrac 13$

  $\therefore~$True