2019학년도 06월 나형 21번

21. 상수 $a,~b$에 대하여 삼차함수 $f(x)=x^3 +ax^2+bx$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(-1)>-1$

(나) $f(1)-f(-1)>8$

<보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. 방정식 $f'(x)=0$은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

ㄴ. $-1<x<1$일 때, $f'(x)\ge 0$이다.

ㄷ. 방정식 $f(x)-f'(k)x=0$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$가 되도록 하는 모든 실수 $k$의 개수는 $4$이다.

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i. 정리

• $f(x)=x(x^2 +ax+b)$

• $f(-1)>-1$

• $f(1)-f(-1)>8$

  혹시 평균변화율?

ii. 생각

• $f(-1)>-1$을 알아보자.

  $f(-1)=-1+a-b>-1$

  $\therefore~ a>b$

• $f(1)-f(-1)>8$을 알아보자.

  $\begin{aligned} f(1)-f(-1)&= (1+a+b) +(1-a+b) \\ \\&= 2+2b>8 \end{aligned}$

  $\therefore~ b>3$

$\therefore~ a>b>3$

iii. ㄱ

• $f'(x)=3x^2 +2ax+b=0$

  $\begin{aligned} D/4&= a^2 -3b\end{aligned}$

  $\begin{cases} a^2>b^2>9\\ \\b^2 >3b\end{cases} \quad \longrightarrow \quad \begin{aligned} a^2>b^2 >3b>9 \\ \\ a^2-3b>0\end{aligned}$

   

  $\therefore~ D/4>0$

True

iv. ㄴ

• 대충 그래프를 그려보면,

  

  조금 애매하다?

  확실히 $x\ge 0$이면 $f'(x)\ge 0$인데,

  극소가 되는 $x$의 값이 $-1<x<0$ 사이에 존재하는 지가 관건이다!

  이럴 때는 우선 대입해놓고 생각하자.

  $\begin{aligned} f'(-1)&=3-2a+b\end{aligned}$

  $a>b>3 \quad\longrightarrow \quad 2a>2b>6\quad\longrightarrow \quad 2a-b>b>6-b$

  $\longrightarrow \quad -2a+b<-b<b-6 \quad \longrightarrow \quad 3-2a+b<3-b<b-3$

  $3-b<0$ 이므로,

  $\therefore~ f'(-1)=3-2a+b<0$

  $f'(-1+\delta)<0$ 를 만족하는 $\delta$ 값이 존재한다! (단, $\delta >0$인 실수)

False

v. ㄷ

• $f(x)=f'(k)x$ 로 두고 생각해보자.

  $y=f'(k)x$는 원점을 지나는 직선이다.

  서로 다른 실근이 $2$개가 되기 위해서는, 다음의 경우가 가능할 것이다.

  

  위 조건을 만족하는 $f'(k)$를 찾아보면,

  

  $\therefore~ 4$개

  (뭐 $f'(x)$의 값을 그려서 교점이 $4$개 발생하는 것으로 생각해도 무방하다.)