2019학년도 06월 나형 29번

29. 함수

이 실수 전체의 집합에서 연속이고 역함수를 갖는다. 함수 $y=f(x)$의 그래프와 역함수 $y=f^{-1} (x)$의 그래프의 교점의 개수가 $3$이고, 그 교점의 $x$ 좌표가 각각 $-1,~1,~2$일 때, $2a+4b-10c$의 값을 구하시오. (단, $a,~b,~c$는 상수이다.)

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i. 정리

• $f(x)=\begin{cases} ax+b&(x<1)\\ \\ cx^2 +\cfrac 52x &(x\ge 1)\end{cases}$

  • 연속, 역함수

• $f(x)=f^{-1}(x)$의 근은 $x=-1,~1,~2$

  $y=f(x)$와 $y=f^{-1}(x)$의 교점들 중 적어도 하나는 반드시 $y=x$ 축 위에 존재하지만,

  경우에 따라 그 외의 경우도 존재한다.(뭐 보통 미적분에서 나오지 수2에서는 잘 없었으니까...앞으로 나올란가?)

ii. 생각

• $y=f(x)$의, 그래프를 대충 그려볼까?

  • $a<0$이면,

    

  • $a>0$이면,

    

  교점이 $f(x)=f^{-1}(x)$가 $3$개가 나올 수 있는 경우는 $a<0$이고 교점의 좌표는 $(1,~1)$만 $y=x$ 축 위에 있다!

• $f(1)=1$

  $c+\cfrac 52 =1$

  $\therefore~ c=-\cfrac 32$

• $f(2)=?$

  $f(2)=4c+5=-1$

  $\therefore~ f(-1)=2$

  $-a+b=2$

• $x=1$에서 $y=f(x)$는 연속이다.

  $a+b=c+\cfrac 52$

  $a+b=1$

$\therefore~ \begin{cases} -a+b=2\\ \\ a+b=1\end{cases} \quad \longrightarrow \quad a=-\cfrac 12,~b=\cfrac 32$

$\therefore~ 2a+4b-10c=-1+6+15=20$