2020학년도 06월 나형 20번

20. 다음 조건을 만족시키는 모든 다항함수 $f(x)$$f(x)$에 대하여 $f(1)$$f(1)$의 최댓값을 구하시오.

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)-4x^3+3x^2}{x^{n+1}+1}=6,\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{x^n}=4$$\lim\limits_{ x\to\infty} \cfrac {f(x)-4x^3 +3x^2}{x^{n+1} +1}=6,~\lim\limits_{ x\to 0}\cfrac {f(x)}{x^n} =4$인 자연수 $n$$n$이 존재한다.

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i. 생각

• $f(x)$$f(x)$는 $m$$m$차 함수라고 하자.

  • $m>3$$m>3$
  • $m=3$$m=3$
  • $1\le m\le 2$$1\le m\le 2$

  의 세 경우로 나눌 수 있다.

• $m>3$$m>3$일 때,

  $m=n+1$$m=n+1$이고

  $f(x)=6x^{n+1}+\sim$$f(x)=6x^{n+1}+\sim$으로 표현할 수 있다.

  두번째 식을 만족시키도록 계산을 하자.

  $\underset{x\to 0}{lim}\frac{6x^n(x-\alpha )}{x^n}=4$$\lim\limits_{ x\to 0} \cfrac{6x^n(x-\alpha)}{x^n}=4$

  $-6\alpha =4⟶\alpha =-\frac{2}{3}$$-6\alpha =4\quad \longrightarrow \quad \alpha =-\cfrac 23$

  $f(x)=6x^n(x+\frac{2}{3})$$f(x)=6x^n(x+\cfrac 23)$

  $\therefore f(1)=6\cdot \frac{5}{3}=10$$\therefore~ f(1)=6\cdot \cfrac 53=10$

• $m=3$$m=3$일 때,

  $f(x)=10x^3+\sim$$f(x)=10x^3+\sim$ 이고 $n=2$$n=2$이다.

  $\underset{x\to 0}{lim}\frac{10x^2(x-\alpha )}{x^2}=4$$\lim\limits_{ x\to 0} \cfrac {10x^2 (x-\alpha )}{x^2}=4$

  $10(-\alpha )=4$$10(-\alpha)=4$

  $\alpha =-\frac{2}{5}$$\alpha =-\cfrac 25$

  $\therefore f(x)=10x^2(x+\frac{2}{5})$$\therefore~ f(x)=10x^2 (x+\cfrac 25)$

  $f(1)=10\cdot \frac{7}{5}=14$$f(1)=10\cdot \cfrac 75=14$

• $m<3$$m<3$일 때,

  성립하는 값이 없다.

$\therefore f(1{)}_{max}=14$$\therefore~ f(1)_{\max}=14$