2020학년도 06월 나형 30번

30. 최고차항의 계수가 $1$$1$이고 $f(2)=3$$f(2)=3$인 삼차함수 $f(x)$$f(x)$에 대하여 함수

$$\begin{array}{c}g(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{ax-9}{x-1}& (x<1)\\ \\ f(x)& (x\ge 1)\end{array}\end{array}$$

이 다음 조건을 만족시킨다.

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함수 $y=g(x)$$y=g(x)$의 그래프와 직선 $y=t$$y=t$가 서로 다른 두 점에서만 만나도록 하는 모든 실수 $t$$t$의 값의 집합은 $\{t|t=-1\text{ 또는 }t\ge 3\}$$\big\{t|t=-1\text{ 또는 }t\ge 3\big\}$이다.

$(g\circ g)(x)$$(g\circ g)(x)$의 값을 구하시오. (단, $a$$a$는 상수이다.)

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i. 생각

• 우선 유리함수를 살펴보자.

  $y=\frac{ax-9}{x-1}=\frac{a-9}{x-1}+a$$y=\cfrac {ax-9}{x-1} =\cfrac {a-9}{x-1}+a$

  점근선이 각각 $x=1,y=a$$x=1,~y=a$이다.

• $y=g(x)$$y=g(x)$의 $x<1$$x<1$인 부분을 생각하자.

  • $a-9>0$$a-9>0$
  • $a-9<0$$a-9<0$

  의 경우로 나뉨을 알 수 있다.

  당연히 그럼 그래프를 그려보자.

  

   

  

  이 그래프로 유추해보면, $a=3$$a=3$일 때만 가능함을 알 수 있다.

  

  이때, $f(1)=-1,f(2)=3$$f(1)=-1,~f(2)=3$ 그리고 $f(x)$$f(x)$의 극솟값이 $-1$$-1$이면 된다. (단, 극솟값의 $x$$x$좌표는 $2$$2$보다 커야 한다.)

• $y=f(x)$$y=f(x)$를 계산하자.

  $f(x)=(x-2{)}^2(x-\alpha )+3$$f(x)=(x-2)^2 (x-\alpha )+3$으로 표현할 수 있다.

  실제로는 극솟값까지 구해야 하지만...

  미지수는 하나, 사용가능한 조건 $f(1)=-1$$f(1)=-1$을 써도 $\alpha$$\alpha$가 정해지네?

  $f(1)=1-\alpha +3=-1⟶\alpha =5$$f(1)=1-\alpha +3=-1\quad\longrightarrow \quad \alpha =5$

  $\therefore f(x)=(x-2{)}^2(x-5)+3$$\therefore~ f(x)=(x-2)^2(x-5)+3$

$\begin{array}{c}\therefore g(x)=\{\begin{array}{ll}-\frac{6}{x-1}+3& (x<1)\\ \\ (x-2{)}^2(x-5)+3& (1\le x)\end{array}\end{array}$$\therefore~ g(x)=\begin{cases} -\cfrac 6{x-1}+3 &(x<1)\\ \\ (x-2)^2 (x-5)+3 &(1\le x)\end{cases}$

$g(g(-1))=g(6)=16+3=9$$g(g(-1))=g(6)=16+3=9$

$\therefore g\circ g(-1)=9$$\therefore~ g\circ g(-1)=9$