2020학년도 11월 나형 30번

30. 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$$f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 $f(x)-x=0$$f(x)-x=0$의 서로 다른 실근의 개수는 $2$$2$이다.

(나) 방정식 $f(x)+x=0$$f(x)+x=0$의 서로 다른 실근의 개수는 $2$$2$이다.

$f(0)=0,f^{\prime }(1)=1$$f(0)=0,~f'(1)=1$일 때, $f(3)$$f(3)$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $f(x)=a{x}^3+\sim a>0$$f(x)=ax^3 +\sim\quad \quad a>0$
• $f(x)=x,f(x)=-x⟶$$f(x)=x,~f(x)=-x\quad \longrightarrow \quad$서로 다른 실근 $2$$2$개
• $f(0)=0,f^{\prime }(1)=1⟶f(3)=?$$f(0)=0,~f'(1)=1\quad\longrightarrow \quad f(3)=?$

ii. 생각

• $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx$$f(x)=ax^3 +bx^2 +cx$

• $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$$f'(x)=3ax^2 +2bx+c$

  $f^{\prime }(1)=3a+2b+c=1$$f'(1)=3a+2b+c=1$

• 이제 조건에 맞는 그래프를 그리자.

  그래프를 이렇게 저렇게 막 하다보면,

  

  $f^{\prime }(0)=1$$f'(0)=1$이어야 한다!

  $f^{\prime }(0)=c=1⟶3a+2b=0⟶2b=-3a$$f'(0)=c=1\quad \longrightarrow \quad 3a+2b=0\quad \longrightarrow \quad 2b=-3a$

  $f^{\prime }(x)=3a{x}^2-3ax+1$$f'(x)=3ax^2 -3ax+1$

  $f(x)=a{x}^3-\frac{3}{2}a{x}^2+x$$f(x)=ax^3 -\cfrac 32ax^2 +x$

• 빼먹은 조건이 무엇이 있을까?

  $f(x)=-x$$f(x)=-x$의 교점은 $(0,0),(\alpha ,-\alpha )$$(0,~0),~(\alpha,~-\alpha)$

  $f^{\prime }(0)=1$$f'(0)=1$은 이미 썼고, $f^{\prime }(\alpha )=-1$$f'(\alpha)=-1$

  오..이걸 써보자.

• $f(\alpha )=-\alpha ,f^{\prime }(\alpha )=-1$$f(\alpha)=-\alpha,~f'(\alpha)=-1$

  • $f(\alpha )=a{\alpha }^3-\frac{3}{2}a{\alpha }^2+\alpha =-\alpha$$f(\alpha )=a\alpha ^3 -\cfrac 32 a\alpha ^2 +\alpha =-\alpha$

    $\Rightarrow \alpha \ne 0$$\Rightarrow\quad \alpha \neq 0$임을 이용하면,

    $\Rightarrow a\alpha (\alpha -\frac{3}{2})=-2$$\Rightarrow\quad a\alpha (\alpha -\cfrac 32 )=-2$

  • $f^{\prime }(\alpha )=3a{\alpha }^2-3a\alpha +1=-1$$f'(\alpha)=3a\alpha ^2 -3a\alpha +1=-1$

    $\Rightarrow 3a\alpha (\alpha -1)=-2$$\Rightarrow\quad 3a\alpha (\alpha -1)=-2$

  방정식을 풀자!

  $a\alpha (\alpha -\frac{3}{2})=3a\alpha (\alpha -1)a\alpha \ne 0$$a\alpha (\alpha -\cfrac 32 )=3a\alpha (\alpha -1)\quad a\alpha \neq 0$

  $\alpha -\frac{3}{2}=3(\alpha -1)$$\alpha -\cfrac 32 =3(\alpha -1)$

  $\therefore \alpha =\frac{3}{4},a=\frac{32}{9}$$\therefore~ \alpha =\cfrac 34,~a=\cfrac {32}9$

$\therefore f(x)=\frac{32}{9}{x}^3-\frac{3}{2}\cdot \frac{32}{9}{x}^2+x$$\therefore~ f(x)=\cfrac {32}9x^3 -\cfrac 32\cdot \cfrac {32}9 x^2 +x$

$\therefore f(3)=51$$\therefore~ f(3)=51$