2019년 07월 가형 29번

29. 중심이 $O$$O$이고 반지름의 길이가 $1$$1$인 원이 있다. 양수 $x$$x$에 대하여 원 위의 서로 다른 세 점 $A,B,C$$A,~B,~C$가

$$x\overrightarrow{OA}+5\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$$

를 만족시킨다. $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$$\overrightarrow{ OA}\cdot \overrightarrow{ OB}$의 값이 최대일 때, 삼각형 $ABC$$ABC$의 넓이를 $S$$S$라 하자. $50S$$50S$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• 위의 주어진 식에서 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$$\overrightarrow{ OA}\cdot \overrightarrow{ OB}$를 뽑아내야 한다.

  $x\overrightarrow{OA}+5\overrightarrow{OB}=-3\overrightarrow{OC}$$x\overrightarrow{ OA} +5\overrightarrow{ OB} =-3\overrightarrow{ OC}$

  양변을 제곱하면,

  $x^2+10x\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}+25=9$$x^2 +10x \overrightarrow{ OA}\cdot \overrightarrow{ OB}+25 =9$

  정리하면,

  $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=-(\frac{16}{5x}+\frac{x}{5})$$\overrightarrow{ OA}\cdot \overrightarrow{ OB} =-\Big(\cfrac {16}{5x}+\cfrac x5\Big)$

• 언제 최댓값을 가질까?

  • $\frac{16}{5x}+\frac{x}{5}$$\cfrac {16}{5x}+\cfrac x5$의 값이 최소가 될 때이다!

    그런데 $x$$x$는 양수이고, 최대$\cdot$$\cdot$ 최소문제는 $\{\begin{array}{l}\text{1. 산술기하}\\ \\ \text{2. 절대부등식}\\ \\ \text{3. 미분}\end{array}$$\begin{cases}\text{1. 산술기하}\\ \\ \text{2. 절대부등식} \\ \\ \text{3. 미분} \end{cases} \quad$의 순으로 습관을 들이면 편하다.

    바로 산술기하 평균을 쓰면 될 것이란 걸 알 수 있다.

    $\frac{16}{5x}+\frac{x}{5}\ge 2\sqrt{\frac{16}{5x}\times \frac{x}{5}}=2\times \frac{4}{5}$$\cfrac {16}{5x}+\cfrac x5\ge 2\sqrt{\cfrac {16}{5x}\times\cfrac x5}=2\times \cfrac 45$

    이고 $\frac{16}{5x}=\frac{x}{5}$$\cfrac {16}{5x}=\cfrac x5$일 때 등호!

    $\therefore x=4$$\therefore~ x=4$

• $4\overrightarrow{OA}+5\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$$4\overrightarrow{ OA}+5\overrightarrow{ OB}+3\overrightarrow{ OC}=\overrightarrow{ 0}$

  $4\overrightarrow{AO}=5\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}$$4\overrightarrow{ AO} =5\overrightarrow{ OB}+3\overrightarrow{ OC}$

  양변을 $8$$8$로 나누면 내분점을 이용할 수 있겠다.

  $\frac{1}{2}\overrightarrow{AO}=\frac{5\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}}{8}$$\cfrac 12 \overrightarrow{ AO} =\cfrac {5\overrightarrow{ OB}+3\overrightarrow{ OC}}8$

  원의 중심에서 $\frac{1}{2}\overrightarrow{AO}$$\cfrac 12 \overrightarrow{ AO}$가 나타내는 점은 $B,C$$B,~C$를 $3:5$$3:5$로 내분한 점이다!

• 대충 그리고 생각하자.

  

  $O$$O$에서 $\overline{BC}$$\overline{ BC}$에 내린 수선의 발을 $H$$H$라 하자.

  $\overline{BC}=8a$$\overline{ BC}=8a$라 하면, $\overline{B{A}^{\prime }}=3a,\overline{A^{\prime }H}=a,\overline{HC}=4a,\overline{OB}=1,\overline{O{A}^{\prime }}=\frac{1}{2}$$\overline{ BA'} =3a,~\overline{ A'H}=a,~\overline{ HC}=4a,~\overline{ OB}=1,~\overline{ OA'}=\cfrac 12$이다.

  $\mathrm{△}OBH$$\triangle OBH$에서 $1^2=(4a{)}^2+h^2$$1^2 =(4a)^2 +h^2$

  $\mathrm{△}O{A}^{\prime }H$$\triangle OA'H$에서 $(\frac{1}{2}{)}^2=a^2+h^2$$\big(\cfrac 12\big)^2 =a^2 +h^2$

  이를 풀면, $a=\frac{\sqrt{5}}{10},h=\frac{\sqrt{5}}{5}$$a=\cfrac {\sqrt 5}{10},~h=\cfrac {\sqrt 5}5$

  이를 이용해서 $\mathrm{△}OBC$$\triangle OBC$의 넓이를 구하면, $\frac{2}{5}$$\cfrac 25$

  $\mathrm{△}OB{A}^{\prime }$$\triangle OBA'$의 넓이는 $\frac{2}{5}\times \frac{3}{8}=\frac{6}{40}$$\cfrac 25 \times \cfrac 38 =\cfrac {6}{40}$

  $\mathrm{△}O{A}^{\prime }C$$\triangle OA'C$의 넓이는 $\frac{2}{5}\times \frac{5}{8}=\frac{10}{40}$$\cfrac 25\times \cfrac 58=\cfrac {10}{40}$

  그리고, $\mathrm{△}AB{A}^{\prime }$$\triangle ABA'$에서 $\overline{OA}:\overline{O{A}^{\prime }}=2:1$$\overline{ OA}: \overline{ OA'} =2:1$를 이용하면, $\mathrm{△}ABO$$\triangle ABO$의 넓이는 $\frac{12}{40}$$\cfrac {12}{40}$

  마찬가지로 $\mathrm{△}AOC$$\triangle AOC$의 넓이를 구하면 $\frac{20}{40}$$\cfrac {20}{40}$

$\therefore S=\frac{6+10+12+20}{40}=\frac{48}{40}=\frac{6}{5}$$\therefore~ S=\cfrac {6+10+12+20}{40} =\cfrac {48}{40} =\cfrac 65$

$\therefore 50S=60$$\therefore~ 50S=60$