2020학년도 06월 가형 29번

29. 좌표평면에서 곡선 $C:y=\sqrt{8-x^2}(2\le x\le 2\sqrt{2})$$C:~y=\sqrt{8-x^2 } ~\big(2\le x\le 2\sqrt 2)$ 위의 점 $P$$P$에 대하여 $\overline{OQ}=2,\mathrm{\angle }POQ=\frac{\pi }{4}$$\overline{ OQ}=2,~\angle POQ=\cfrac {\pi}4$를 만족시키고 직선 $OP$$OP$의 아랫부분에 있는 점을 $Q$$Q$라 하자.

점 $P$$P$가 곡선 $C$$C$ 위를 움직일 때, 선분 $OP$$OP$ 위를 움직이는 점 $X$$X$와 선분 $OQ$$OQ$ 위를 움직이는 점 $Y$$Y$에 대하여

$$\overrightarrow{OZ}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OX}+\overrightarrow{OZ}$$

를 만족시키는 점 $Z$$Z$가 나타내는 영역을 $D$$D$라 하자.

영역 $D$$D$에 속하는 점 중에서 $y$$y$ 축과의 거리가 최소인 점을 $R$$R$라 할 때, 영역 $D$$D$에 속하는 점 $Z$$Z$에 대하여 $\overrightarrow{OR}\cdot \overrightarrow{OZ}$$\overrightarrow{ OR}\cdot \overrightarrow{ OZ}$의 최댓값과 최솟값의 합이 $a+b\sqrt{2}$$a+b\sqrt 2$이다. $a+b$$a+b$의 값을 구하시오. (단, $O$$O$는 원점이고, $a$$a$와 $b$$b$는 유리수이다.)

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i. 생각

• 당연히 그래프를 그려보고 생각해야 한다.

  

  그린 김에 $P$$P$ 점이 고정되었을 때 $\overrightarrow{OZ}$$\overrightarrow{ OZ}$가 나타내낼 수 있는 영역은 그림에서 보이는 평행사변형이다.

  어?

  규칭이 원 위의 점 $P$$P$가 움직이는 것에 따라 다 정해진다.

  

  $P(2,2)$$P(2,~2)$에 있을 때와 $P(2\sqrt{2},0)$$P(2\sqrt 2,~0)$ 일 때만 생각하면 영역을 그릴 수 있겠다.

  

• 영역을 그리고 값을 찾도록 하자.

  

  $R(2,2)$$R(2,~2)$, $Z_{max}(6,4)$$Z_{\max} (6,~4)$, $Z_{min}$$Z_{\min}$은 선분 $P^{\prime }S$$P'S$ 위에 있으면 된다.

  $\therefore max:(2,2)\cdot (6,4)=20$$\therefore~ \max : (2,~2)\cdot (6,~4)=20$

  $\therefore min:(2,2)(2\sqrt{2},0)=4\sqrt{2}$$\therefore~ \min:(2,~2)(2\sqrt 2,~0)=4\sqrt 2$

$\therefore 20+4\sqrt{2}$$\therefore~ 20+4\sqrt 2$

$\therefore a+b=24$$\therefore~ a+b=24$