2019년 04월 가형 29번

29. 그림과 같이 중심이 점 $A(1,0)$$A(1,~0)$이고 반지름의 길이가 $1$$1$인 원 $C_1$$C_1$과 중심이 점 $B(-2,0)$$B(-2,~0)$이고 반지름의 길이가 $2$$2$인 원 $C_2$$C_2$가 있다.

$y$$y$ 축위의 점 $P(0,a)(a,\sqrt{2})$$P(0,~a)~\big(a,~\sqrt 2\big)$에서 원 $C_1$$C_1$에 그은 접선 중 $y$$y$ 축이 아닌 직선이 원 $C_1$$C_1$과 접하는 점을 $Q$$Q$, 원 $C_2$$C_2$에 그은 접선 중 $y$$y$ 축이 아닌 직선이 원 $C_2$$C_2$와 접하는 점을 $R$$R$라 하고 $\mathrm{\angle }RPQ=\theta$$\angle RPQ=\theta$라 하자. $\tan \theta =\frac{4}{3}$$\tan\theta =\cfrac 43$일 때, $(a-3{)}^2$$(a-3)^2$의 값을 구하시오.

---

i. 생각

• 당연히 그을 수 밖에 없는 보조선을 긋자

  

• 좀 생각을 하자.

  • $\mathrm{\angle }RPB=\mathrm{\angle }BPO=\bullet ,\mathrm{\angle }BPA=\mathrm{\angle }APQ=\text{×}$$\angle RPB=\angle BPO=\bullet,~\angle BPA=\angle APQ=\texttimes$라 하면,

    $2\bullet +2\text{×}=\theta$$2\bullet+2\texttimes=\theta$

  • $\tan \bullet =\frac{2}{a},\tan \text{×}=\frac{1}{a}$$\tan \bullet =\cfrac 2a ,~\tan \texttimes =\cfrac 1a$

    $\tan 2\bullet ,\tan 2\text{×}$$\tan 2\bullet,~\tan 2\texttimes$를 구해서 $\tan \theta$$\tan\theta$를 이용하는 건 식이 많이 복잡할 거 같다.

     

    그럼, $\tan \frac{\theta }{2}=\tan (\bullet +\text{×})$$\tan \cfrac {\theta}2=\tan (\bullet +\texttimes )$를 이용하자.

• $\tan \frac{\theta }{2}$$\tan\cfrac {\theta}2$를 구하자.

  $\begin{array}{rl}\tan \theta & =\tan (\frac{\theta }{2}+\frac{\theta }{2})\\ \\ & =\frac{2\tan \frac{\theta }{2}}{1-{\tan }^2\frac{\theta }{2}}\\ \\ & =\frac{4}{3}\end{array}$$\begin{aligned} \tan \theta &=\tan \Big(\cfrac {\theta}2 +\cfrac {\theta }2\Big) \\ \\ &=\cfrac {2\tan \cfrac {\theta}2 }{1-\tan^2 \frac {\theta}2}\\ \\ &=\cfrac 43\end{aligned}$

  이를 풀면, $\tan \frac{\theta }{2}=\frac{1}{2}$$\tan \cfrac {\theta}2=\cfrac 12$

• $\tan (\bullet +\text{×})$$\tan (\bullet +\texttimes )$를 구하자.

  $\begin{array}{rl}\tan (\bullet +\text{×})& =\frac{\tan \bullet +\tan \text{×}}{1-\tan \bullet \cdot \tan \text{×}}\\ \\ & =\frac{3a}{a^2-2}\\ \\ & =\tan \frac{\theta }{2}=\frac{1}{2}\end{array}$$\begin{aligned} \tan (\bullet +\texttimes )&= \cfrac {\tan \bullet +\tan \texttimes }{1-\tan \bullet\cdot \tan \texttimes }\\ \\ &= \cfrac {3a}{a^2 -2} \\ \\ &=\tan\cfrac {\theta}2=\cfrac 12 \end{aligned}$

• 계산하자.

  $a^2-2=6a$$a^2 -2=6a$

  $a^2-6a-2=0$$a^2 -6a-2=0$

  $(a-3{)}^2-9-2=0$$(a-3)^2 -9-2=0$

$\therefore (a-3{)}^2=11$$\therefore~ (a-3)^2 =11$