2018년 07월 가형 29번

29. 그림과 같이 평면 위에 $\overline{OA}=2\sqrt{11}$$\overline{ OA}=2\sqrt{11}$을 만족하는 두 점 $O,A$$O,~A$와 점 $O$$O$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 각각 $\sqrt{5},\sqrt{14}$$\sqrt 5,~\sqrt {14}$인 두 원 $C_1,C_2$$C_1,~C_2$가 있다. 원 $C_1$$C_1$ 위의 서로 다른 두 점 $P,Q$$P,~Q$와 원 $C_2$$C_2$ 위의 점 $R$$R$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 양수 $k$$k$d에 대하여 $\overrightarrow{PQ}=k\overrightarrow{QR}$$\overrightarrow{ PQ}=k\overrightarrow{ QR}$

(나) $\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{AR}=0$$\overrightarrow{ PQ}\cdot \overrightarrow{ AR}=0$이고 $\overline{PQ}:\overline{AR}=2:\sqrt{6}$$\overline{ PQ}:\overline{ AR}=2:\sqrt 6$

원 $C_1$$C_1$ 위의 점 $S$$S$에 대하여 $\overrightarrow{AR}\cdot \overrightarrow{AS}$$\overrightarrow{ AR}\cdot \overrightarrow{ AS}$의 최댓값을 $M$$M$, 최솟값을 $m$$m$이라 할 때, $Mm$$Mm$의 값을 구하시오. (단, $\frac{\pi }{2}<\mathrm{\angle }ORA<\pi$$\cfrac{\pi}2 <\angle ORA<\pi$)

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i. 정리

정리를 딱히 하기 보다 주어진 그림을 가지고 문자와 선분을 이용하여 표현하자.

현을 당연히 활용해야할 것이고, 뭐... 그간 공부를 해왔다면 그을만한 곳에 긋고 미지수를 정하는 것이겠지.

주어진 조건으로부터 $P,Q,R$$P,~Q,~R$은 한 직선 위에 있다. 그리고 $\mathrm{\angle }PRA=\frac{\pi }{2}$$\angle PRA=\cfrac{\pi}2$

ii. 생각

• $M=c(c+d+\sqrt{5})$$M=c(c+d+\sqrt 5)$
• $m=c(c+d-\sqrt{5})$$m=c(c+d-\sqrt 5)$

$\therefore Mm=c^2((c+d{)}^2-5)$$\therefore~ Mm=c^2 \big((c+d)^2 -5\big)$

이제 식을 만들자!

• $a^2+d^2=5\cdots$$a^2 +d^2 =5\quad \cdots \quad$ㄱ

  반지름 $\sqrt{5}$$\sqrt 5$ 이용

• $(a+b{)}^2+d^2=14\cdots$$(a+b)^2+d^2 =14\quad \cdots \quad$ㄴ

  반지름 $\sqrt{14}$$\sqrt {14}$이용

• $(a+b{)}^2+(c+d{)}^2=44⟶$$(a+b)^2 +(c+d)^2 =44\quad \longrightarrow \quad$ㄷ

  $\overline{OA}=2\sqrt{11}$$\overline{ OA}=2\sqrt {11}$이용

• $c=\sqrt{6}a⟶c^2=6a^2\cdots$$c=\sqrt 6 a\quad\longrightarrow \quad c^2 =6a^2 \quad \cdots \quad$ㄹ

  조건 (나)

이제 방정식을 풀자.. 아하하하하하하.

가능하면 상수를 제거하는 방향으로 접근하자.

• ㄷ$-$$-$ㄴ 을 계산하면,

  $(c+d{)}^2-d^2=30$$(c+d)^2 -d^2 =30$

  ㄱ$\times 6$$\times 6$을 해서 빼자!

  $6a^2+6d^2=30$$6a^2 +6d^2=30$

  계산하면,

  $(c+d{)}^2-6a^2-7d^2=0$$(c+d)^2 -6a^2 -7d^2 =0$

  이를 정리하면,

  $\begin{array}{rl}{c}^2+2cd+d^2-6a^2-7d^2& =0\\ \\ c^2+2cd+d^2-c^2-7d^2& =0\\ \\ 2cd-6d^2& =0\end{array}$$\begin{aligned} c^2 +2cd +d^2 -6a^2 -7d^2 &=0\\ \\ c^2+2cd +d^2-c^2 -7d^2 &=0\\ \\ 2cd-6d^2 &=0 \end{aligned}$

  $\therefore c=3d=\sqrt{6}a(\because d\ne 0)$$\therefore~ c=3d=\sqrt 6 a\quad (\because ~d\neq 0)$

• 이를 이용하여 $a,b,c,d$$a,~b,~c,~d$를 구하면

  $a=\sqrt{3},c=3\sqrt{2},d=\sqrt{2}$$a=\sqrt 3,~c=3\sqrt 2,~d=\sqrt 2$

  뭐 $b$$b$는 굳이....구할 필요가 없으니까.

$\therefore Mm=(3\sqrt{2}{)}^2((4\sqrt{2}{)}^2-5)=18\cdot 27=486$$\therefore~ Mm=(3\sqrt 2)^2 \big((4\sqrt 2)^2 -5\big)=18\cdot 27=486$