2019학년도 06월 가형 29번

29. 좌표평면 위에 $\overline{AB}=5$$\overline{ AB}=5$인 두 점 $A,B$$A,~B$를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 $5$$5$인 두 원을 각각 $O_1,O_2$$O_1,~O_2$라 하자. 원 $O_1$$O_1$ 위의 점 $C$$C$와 원 $O_2$$O_2$ 위의 점 $D$$D$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\cos (\mathrm{\angle }CAB)=\frac{3}{5}$$\cos\big(\angle CAB\big)=\cfrac 35$

(나) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=30$$\overrightarrow{ AB}\cdot \overrightarrow{ CD}=30$이고 $|\overrightarrow{CD}|<9$$\big|\overrightarrow{ CD}\big|<9$이다.

선분 $CD$$CD$를 지름으로 하는 원 위의 점 $P$$P$에 대하여 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$$\overrightarrow{ PA}\cdot \overrightarrow{ PB}$의 최댓값이 $a+b\sqrt{74}$$a+b\sqrt{74}$이다. $a+b$$a+b$의 값을 구하시오. (단, $a,b$$a,~b$는 유리수이다.)

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i. 생각

• 당연히 그림을 그려서 상황을 지켜보면서 해야겠지?

  

• $\cos \mathrm{\angle }CAB=\frac{3}{5}$$\cos\angle CAB=\cfrac 35$를 이용하자. 물론 선분 $AB$$AB$ 아래쪽으로도 나오지만 임의로 하나 택하자.

• 조건 (나)를 활용하자.

  • $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{D}_1}-\overrightarrow{AC}$$\overrightarrow{ CD}=\overrightarrow{ AB}+\overrightarrow{ BD_1}-\overrightarrow{ AC}$

    $\begin{array}{rl}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}& =\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{D}_1}-\overrightarrow{AC})\\ \\ & =|\overrightarrow{AB}{|}^2+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{B{D}_1}-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\\ \\ & =25+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{B{D}_1}-5\cdot 5\cdot \frac{3}{5}\\ \\ & =30\end{array}$$\begin{aligned} \overrightarrow{ AB}\cdot \overrightarrow{ CD}&= \overrightarrow{ AB}\cdot (\overrightarrow{ AB}+\overrightarrow{ BD_1}-\overrightarrow{ AC} )\\ \\ &=|\overrightarrow{ AB}|^2 +\overrightarrow{ AB}\cdot \overrightarrow{ BD_1} -\overrightarrow{ AB}\cdot \overrightarrow{ AC}\\ \\ &= 25 +\overrightarrow{ AB}\cdot \overrightarrow{ BD_1}-5\cdot 5\cdot \cfrac 35 \\ \\ &=30 \end{aligned}$

    $\therefore \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{B{D}_1}=20$$\therefore~ \overrightarrow{ AB}\cdot \overrightarrow{ BD_1}=20$

  • 이제 그림을 활용하면,

    

    그런데, 조건 (나)에서 $D_1$$D_1$이 조건에 맞는 점일 것이다. (딱 봐도 $9$$9$보다 커보지이 않는가? $D_2$$D_2$는 말이지...)

• $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$$\overrightarrow{ PA}\cdot \overrightarrow{ PB}$의 최댓값을 구하자.

  

  계산상의 편의를 위해 좌표를 도입하자. $B(0,0)$$B(0,~0)$으로 놓으면,

  • $A(-5,0),C(-2,4),D(4,3)$$A(-5,~0),~C(-2,~4),~D(4,~3)$

    그리고 $\overline{CD}$$\overline{ CD}$의 중점을 $Q$$Q$라 하면, $Q(1,\frac{7}{2})$$Q(1,~\cfrac 72)$

  • $\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QA}$$\overrightarrow{ PA}=\overrightarrow{ PQ}+\overrightarrow{ QA}$, $\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QB}$$\overrightarrow{ PB}=\overrightarrow{ PQ}+\overrightarrow{ QB}$

    $\begin{array}{rl}\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}& =(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QA})\cdot (\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QB})\\ \\ & =|\overrightarrow{PQ}{|}^2+\overrightarrow{PQ}\cdot (\overrightarrow{QB}+\overrightarrow{QA})+\overrightarrow{QA}\cdot \overrightarrow{QB}\\ \end{array}$$\begin{aligned}\overrightarrow{ PA}\cdot \overrightarrow{ PB} &= (\overrightarrow{ PQ}+\overrightarrow{ QA}) \cdot (\overrightarrow{ PQ}+\overrightarrow{ QB}) \\ \\ &=|\overrightarrow{ PQ}|^2 +\overrightarrow{ PQ}\cdot(\overrightarrow{ QB}+\overrightarrow{ QA}) +\overrightarrow{ QA}\cdot \overrightarrow{ QB} \\ \\ \end{aligned}$

    $\overrightarrow{QA},\overrightarrow{QB}$$\overrightarrow{ QA},~\overrightarrow{ QB}$는 고정이다!

    $\overrightarrow{QA}=(-6,-\frac{7}{2}),\overrightarrow{QB}=(-1,-\frac{7}{2})$$\overrightarrow{ QA}=(-6,~-\cfrac 72),~\overrightarrow{ QB}=(-1,~-\cfrac 72)$

    그리고 $\overrightarrow{PQ}$$\overrightarrow{ PQ}$는 $\overrightarrow{QA}+\overrightarrow{QB}$$\overrightarrow{ QA}+\overrightarrow{ QB}$와 같은 방향일 때 최댓값을 갖는다!

    $\overline{CQ}=\frac{\sqrt{37}}{2}$$\overline{ CQ} =\cfrac {\sqrt {37}}2$ (계산생략)

     

    $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=6+\frac{43}{2}+\frac{7}{2}\sqrt{74}$$\overrightarrow{ PA}\cdot \overrightarrow{ PB}=6+\cfrac {43}2+\cfrac 72 \sqrt{74}$

$\therefore a+b=6+25=31$$\therefore~ a+b=6+25=31$