2017년 10월 가형 29번

29. 좌표공간에 평면 $z=2$ 위의 원 $C~:~x^2 +y^2 =1$을 밑면으로 하고 꼭짓점이 원점인 원뿔이 있다. 원 $C$와 한 점 $P(0,~1,~2)$에서만 만나는 평면 $\alpha$가 이 원뿔과 만나서 생기늘 수 있는 도형 중 한 타원을 $S$라 하자. 타원 $S$의 $xy$ 평면 위로의 정사영은 장축의 길이가 $\cfrac 54$인 타원이다. 평면 $\alpha$와 $z$ 축이 만나서 생기는 좌표가 $(0,~0,~k)$일 때, $50k$의 값을 구하시오.

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i. 정리

뭐 딱히

ii. 생각

• 항상 중요한 것은 어떻게는 잘 잘라서 이차원으로 낮춘 후에 접근하는 것이다!

• 이해를 돕기 위해 $yz$ 평면으로 그리자.

  

  • $\overline{A'P'}=\cfrac 54\quad\longrightarrow\quad A'(-\cfrac 14,~0)$

  • $\overline{OP}$의 기울기는 $2$

  • $\overline{OA}$의 기울기는 $-2$

  • 이를 이용하면, $A(-\cfrac 14,~\cfrac 12)$

  • $\overline{AP}$의 직선의 방정식을 구하고, 그 $z$ 절편의 값이 $k$이다!

    $A(-\cfrac 14,~\cfrac 12),~P(1,~2)$

    $z=\cfrac 65 (y+\cfrac 14)+\cfrac 12$

    $\therefore~k=\cfrac 45$

$\therefore~k=40$